माना परवलय `y^(2)=8x` का P एक ऐसा बिंदु है जो वृत्त `x^(2)+(y+6)^(2)=1`, के केन्द्र C से न्यूनतम दूरी पर है, तो उस वृत्त का समीकरण जो C से होकर जाता है तथा जिसका केन्द्र P पर है, है :

Options

A. `x^(2)+y^(2)-4x+8y+12=0`
B. `x^(2)+y^(2)-x+4y-12=0`
C. `x^(2)+y^(2)-x/4+2y-24=0`
D. `x^(2)+y^(2)-4x+9y+18=0`

Answer

A

Explanation

दिया है वृत्त का समीकरण `x^(2)+(y+6)^(2)=1` जिसका केंद्र C(0,-6) है
माना बिंदु P के निर्देशांक `(2t^(2),4t)` है
माना `D=CP=sqrt((2t^(2))^(2)+(4t+6)^(2))`
`rArr D=sqrt(4t^(4)+16t^(2)+36+48t)`
दोनों तरफ का वर्ग करने पर,
`D^(2)(t)=4t^(4)+16t^(2)+48t+36`
माना `F(t)=4t^(4)+16t^(2)+48t+36`
निम्नतम मान के लिए, F.(t)=0
`rArr 16t^(3)+32t+48=0`
`rArr t(3)+2t+3=0`
`rArr (t+1) (t^(2)-t+3) =0`
`rArr t=-1`
अंत: बिंदु P के निर्देशांक (2,-4) है
अब, `CP=sqrt(2^(2)+(-4+6)^(2))=sqrt(4+4)=2sqrt2`
अंत: वृत्त का अभीष्ट समीकरण `(x-2)^(2)+(y+4)^(2)=(2sqrt2)^(2)`
`rArr x^(2)+4-4x+y^(2)+16+8y=8`
`rArr x^(2)+y^(2)-4x+8y+12=0`