परवलय `y^(2)=4ax` के बिन्दु P पर स्पर्श रेखा PT व अभिलम्ब PN इसकी अक्ष से क्रमश: बिन्दु T व N पर मिलते हैं। `trianglePTN` के केन्द्रक का बिन्दुपथ पर परवलय है जिसका (जिसकी)

Options

A. शीर्ष `((2a)/(3),0)` है
B. नियता x=0 है
C. नाभिलम्ब `(2a)/(3)` है
D. नाभि (a,0) है

Answer

A, D

Explanation

माना `triangle PTN` का केन्द्रक R(h,k) है
`therefore h=(at^(2)+(-at^(2))+2a+at^(2))/(3)`
तथा `k=(2at)/(3)`
`rArr 3h=2a+a((3k)/(2a))^(2)`
`rArr 3h=2a+(9k^(2))/(4a)`
`rArr 9k^(2)=4a (3h-2a)`

बिन्दुपथ R(h,k) का समीकरण निम्न है
`y^(2)=(4a)/(3) (x-(2a)/(3))`
शीर्ष `((2a)/(3),0)" नियता "x-(2a)/(3)=-a/3`
`rArr x=a/3`
नाभिलम्ब `=(4a)/(3)`
नाभि `=(a/3+(2a)/(3),0)=(a,0)`