वृत्त `C_(1): x^2+y^2=3` , जिसका केन्द्रबिन्दु O है, परवलय (parabola) `x^2 =2y` को प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में बिन्दु P पर प्रतिच्छेदित (intersect) करता है। माना कि वृत्त `C_1` के बिन्दु P पर खींची गई स्पर्शरेखा (tangent) अन्य दो वृत्तों `C_2` और `C_3` को क्रमशः बिन्दुओं `R_2` और `R_3` पर स्पर्श करती हैं। मान लीजिये कि `C_2` और `C_3` दोनों की त्रिज्याएँ `2sqrt3` के बराबर हैं और उनके केन्द्रबिन्दु क्रमशः `Q_2` और `Q_3` हैं। यदि `Q_2` और `Q_3, y` -अक्ष पर स्थित है, तब

Options

A. `Q_(2)Q_(3)=12`
B. `R_(2)R_(3)=4sqrt6`
C. `triangle OR_(2)R_(3)" का क्षेत्रफल "6sqrt2` है
D. `triangleP Q_(2)Q_(3)" का क्षेत्रफल "4sqrt2" है"`

Answer

A, B, C

Explanation

दिया है वृत्त `C_(1): x^(2)+y^(2)=3`, परवलय `x^(2)=2y` को काटता है

समीकरणों `x^(2)+y^(2)=3" और "x^(2)=2y` को हल करने पर
`y^(2)+2y=3`
`rArr y^(2)+2y-3=0`
`rArr (y+3) (y-1)=0`
`therefore y=1,-3 ["y=-3 छोड़ने पर चुकी जैसे "-sqrt3 le y le sqrt3]`
`therefore y=1 rArr x = pm sqrt2`
`rArr P(sqrt2, 1) in I` प्रथम चतुर्यार्थ
वृत्त `x^(2)+y^(2)=3` के बिंदु `P(sqrt2, 1)` पर स्पर्श का समीकरण
`sqrt2x+1. y=3 .........(i)`
माना `C_(2)" व् "C_(3), Q_(2)" व् "Q_(3)` के केंद्र है तथा बिंदु P पर स्पर्श `C_(2)" तथा "C_(3)` को बिन्दुओ `R_(2)" तथा "R_(3)` पर स्पर्श करती है जैसा की निम्न चित्र में प्रदर्शित है

माना `Q_(2)` के निर्देशांक (0,k) तथा त्रिज्या `2sqrt3" है"`
`therefire (|0+k-3|)/sqrt(2+1) =2sqrt3 rArr |k-3|=6`
`rArr k=9,-3`
`therefore Q_(2) (0,9)" तथा "Q_(3) (0,-3)`
अंत: `Q_(2)Q_(3)=12`
विकल्प (a) सत्य है
साथ ही `C_(2)" और "C_(3)` भी उभयनिष्ट आतंरिक स्पर्शी `R_(2)R_(3)` है
और `r_(2)=r_(3)=2sqrt3`
`therefore R_(2)R_(3)=sqrt(d^(2)-(r_(1)+r_(2))=sqrt(12^(2)-(4sqrt3)^(2))`
`=sqrt(144-48)=sqrt(96)=4sqrt6`

विकल्प (b) सत्य है
O(0,0) से `R_(1)R_(2)` के बिच की लंबवत दुरी वृत्त `C_(1)` की त्रिज्या `=sqrt3` के बराबर है
`therefore triangleOR_(2)R_(3)=1/2 xx R_(2)R_(3) xx sqrt3 =1/2 xx 4sqrt6 xx sqrt3=6sqrt2`
विकल्प (c) सत्य है
`trianglePQ_(2)Q_(3) =1/2 Q_(2)Q_(3) xx sqrt2=sqrt2/2 xx 12=6sqrt2`
विकल्प (d) असत्य है