माना कि परवलय (parabola) `y^(2)=4x` पर P एक ऐसा बिन्दु है जो वृत्त `x^(2)+y^(2)-4x-16y+64=0` के केन्द्र बिन्दु S से न्यूनतम दूरी पर है | माना कि वृत्त पर बिन्दु Q ऐसा है कि वह रेखाखंड SP को आंतरिक विभाजित करता है | तब

Options

A. `SP=2sqrt5`
B. `SQ:QP=(sqrt5+1):2`
C. परवलय के बिंदु P पर अभिलम्ब का x- अंत: खंड है
D. वृत्त के बिंदु Q पर स्पर्श रेखा की ढाल `1/2" है "`

Answer

A, C, D

Explanation

`y^(2)=4x` के बिंदु `(t^(2),2t)` पर स्पर्श रेखा निम्न है
`y(2t)=2(x+t^(2))`
`rArr yt=x+t^(2) ......(i)`
`P(t^(2),2t)` पर अभिलम्ब का समीकरण निम्न है
`y+tx=2t+t^(3)`
चुकी P पर अभिलम्ब, वृत्त के केंद्र S(2,8) से होकर जाता है
`8+2t=2t+t^(3)`
`rArr t=2" अर्थार्त "P(4,4)`
[चुकी दो वक्रो के बिच की न्यूनतम दुरी उनके उभयनिष्ट अभिलम्ब के सापेक्ष होती है और उभयनिष्ट अभिलम्ब, वृत्त के केंद्र से होकर जाता है]
`therefore SP=sqrt((4-2)^(2))+(4-8)^(2)=2sqrt5`
अंत: विकल्प (a) सत्य है
साथ ही, SQ=2
`PQ=SP-SQ=2sqrt5-2`
इस प्रकार `(SQ)/(QP)=(1)/sqrt(5-1)=(sqrt5+1)/(4)`
अंत: विकल्प (b) असत्य है
अब अभिलम्ब का x- अंत: खंड `x=2+2^(2)=6` है
अंत: विकल्प (c) सत्य है
अंत: विकल्प (d) सत्य है