एक एकसमान, नियत चुम्बकीय क्षेत्र B, X- तल में X-अक्ष से 45° के कोण पर दिष्ट है। PORS एक दृढ़ वर्गाकार तार का फ्रेम है जिसमें स्थायी धारा बह रही है तथा जिसका केन्द्र मूल बिन्दु० पर है। क्षण = 0 पर फ्रेम दिखाई गई स्थिति में विरामावस्था में है तथा इसकी भुजायें x वY-अक्षों के समान्तर हैं। फ्रेम की प्रत्येक भुजा का द्रव्यमान m है तथा लम्बाई L है।
(a) चुम्बकीय क्षेत्र के कारण फ्रेम पर केन्द्र के परितः लगने वाला बल-आघूर्ण `tau` क्या है?
(b) वह कोण ज्ञात कीजिए जिससे फ्रेम इस बल आघूर्ण के अन्तर्गत एक सूक्ष्म समयान्तराल `/_\t` में घूम जाता है तथा वह अक्ष भी ज्ञात कीजिए जिसके परितः फ्रेम घूमता है। (`/_\t` इतना सूक्ष्म है कि समयान्तराल के दौरान बल-आघूर्ण में परिवर्तन नगण्य है)। फ्रेम के तल के लम्बवत् केन्द्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः फ्रेम का जड़त्व आघूर्ण `4/3 mL^(2)` है।

Answer

(a) `|tau|=i_(0)L^(2)B` ,(b) `theta=3/4 (i_(0)B)/M (Deltat)^(2)`

Explanation

लूप का चुम्बकीय आघूर्ण, M =`(iA)hatk`
`(i_(0)L^(2))hatk`
चुम्बकीय क्षेत्र, B = (B cos `45^(@)hati` + (Bsin `45^(@))hatj`
`B/sqrt2 (hati + hatj)` (a) लूप पर कार्यरत् बल आघूर्ण,`tau = MxxB`
= ` (i_(0)L^(2)hatk)xx[B/sqrt2 (hati + hatj)] `
या `|tau| = i_(0)L^(2)B `
(b) घूर्णन अक्ष, बल आघूर्ण के संपाती है तथा बल आघूर्ण 1-1 दिशा में है या OS के समान्तर है। अत: लूप तथा S से जाने वाली अक्ष के परितः चित्रानुसार घूर्णन करेगा।
कोणीय त्वरण, `alpha = |tau|/I` जहाँ, I = Qs के परितः लूप का जड़त्व आघूर्ण,
`I_(QS) + I_(PR) = I_(ZZ)`
परन्तु `I_(QS) = I_(PR)`
`2I_(QS) = I_(ZZ) = 4/3 ML^(2)`
`alpha |tau|/I` = `(i_(0)L^(2)B)/(2//3 ML^(2)) = (3i_(0)B)/(2M)`
इसलिए समय में फ्रेम द्वारा घूमा गया कोण,
`theta = 1/2 alpha (/_\t)^(2)`
`theta = 3/4 (i_(0)B)/(4M)*(/_\t)^(2)`