किसी ठोस गोले का द्रव्यमान M तथा इसकी त्रिज्या R है। इसमें से अधिकतम सम्भव आयतन का एक घन काट लिया जाता है। इस घन का जड़त्व आघूर्ण कितना होगा, यदि इसकी घूर्णन अक्ष इसके केन्द्र से होकर गुजरती है तथा इसके किसी एक फलक के लम्बवत है ?

Options

A. `(MR^(2))/(32sqrt(2)pi)`
B. `(MR^(2))/(16sqrt(2)pi)`
C. `(4MR^(2))/(9sqrt(3)pi)`
D. `(4MR^(2))/(3sqrt(3)pi)`

Answer

C

Explanation

M व R के पदों में घन की भुजा की लम्बाई तथा द्रव्यमान की गणना हेतु ज्यामिति के आरेख का प्रयोग किया जाता है।
व्यासित समतल के अनुप्रस्थ काट के दृश्य को नीचे चित्र में दर्शाया गया है।

घन की ज्यामिति का प्रयोग करने पर,
`PQ=2R=(sqrt(3))a` या `a=(2R)/(sqrt(3))`
ठोस गोले का आयतन घनत्व `(rho)=(M)/((4)/(3)pi R^(3))=(3)/(4pi)((M)/(R^(3)))`
घन का द्रव्यमान `(m)=(rho)(a)^(3)`
`=((3)/(4pi)xx(M)/(R^(3)))[(2R)/(sqrt(3))]^(3)`
`=(3M)/(4pi R^(3))xx(8R^(3))/(3sqrt(3))=(2M)/(sqrt(3)pi)`
दी गई अक्ष के चरों ओर जड़त्व - आघूर्ण
`l_(Y)=(ma^(2))/(12)(a^(2)+a^(2))=(ma^(2))/(6)`
`rArr l_(Y)=(ma^(2))/(6)=(2M)/(sqrt(3)pi)xx(1)/(6)xx(4R^(2))/(3)=(4MR^(2))/(9sqrt(3)pi)`