एक ऊर्ध्वाधर बेलनाकार पात्र में रखी एक आदर्श गैस एक द्रव्यमान M के स्वतंत्र रूप से गतिशील पिस्टन को आधार देती है। पिस्टन और बेलन के अनुप्रस्थ परिच्छेद क्षेत्रफल एकसमान A है। जब पिस्टन साम्यवस्था में है ,तब गैस का आयतन `V_0` है और इसका दाब `P_0` है। पिस्टन को इसी साम्यावस्था स्थिति से थोड़ा सा विस्थापित किया जाता है और फिर छोड़ दिया जाता है। यह मान लें की निकाय अपने परिवेश से पूर्णतः रोधी है तब पिस्टन इस आवर्ती की सरल आवर्त गति करेगा।

Options

A. ` (1)/(2pi ) ( Agamma P_0)/( V_0M)`
B. ` (1)/(2pi ) (V_0MP_0)/( A^(2) gamma) `
C. `(1)/(2pi) sqrt(( A^(2) gamma P_0)/( MV_0) ) `
D. `(1)/(2pi ) sqrt(( MV_0)/( A gamma P_0))`

Answer

C

Explanation

`(Mg)/(A) = P_0 rArr Mg =P_0A `
`P_0V_0^(y) =(P_0+Delta P_0) (V_0-Delta V_0) ^(gamma) `
` P_0 =(P_0 +Delta P_0) (1- (Delta V_0)/( V_0) )^(gamma)`
`= (P_0+Delta P_0) (1- gamma (Delta V_0)/(V_0) )= (P_0-gamma P_0 (DeltaV_0)/(V_0) +Delta P_0)`
या ` Delta P_0=gamma P_0(Delta V_0)/(V_0) `
लेकिन `Delta V=Ax,` जहाँ A पिस्टन का अनुप्रस्थ परिच्छेद क्षेत्रफल है ।
` therefore Delta P_0=(gamma P_0A)/(V_0) `
प्रत्यानयन बल ` F=-Delta P_0xx A = -(gammaP_0A^(2))/(V_0) x` से
` F_(res) =-kx` की तुलना करने पर
जहाँ `k=(gamma P_0A^(2))/(V_0) `
` therefore f=(1)/(2pi ) sqrt((k)/(M) ) rArrf = (1)/(2pi)sqrt((gammaP_0A^(2))/(MV_0))`