यदि `y=x^(2)+(sin x)^(sin x)` तो `(dy)/(dx)` का ज्ञात कीजिये ।

Explanation

` y= x^(x) + (sin x ) ^(sin x)`
माना `y=u+v " " ` …(i)
जहाँ `u=x^(x)" "…(ii)`
तथा `v= (sinx)^(sin x) " " …(iii)`
समीकरण (i) से,
` (dy)/(dx) = (du)/(dx) + (dv)/(dx) " " `…(iv)
समीकरण (ii) से, `u= x^(x)`
दोनों पक्षों का log लेने पर ,
` log x = x log x `
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
` 1/u * (du)/(dx) = x * 1/x + log x (1) `
या ` (du)/(dx) = u (1 + log x ) `
या ` (du)/(dx) = x^(x) (1+ log x )" "` ...(v)
[ समीकरण (ii) से ]
पुनः समीकरण (iii) से ,
`v= (sin x ) ^(sin x ) `
दोनों पक्षों का log लेने पर ,
` log v = sin x log (sin x )`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर ,
` 1/v * (dv)/(dx) = sin x * 1/(sin x ) + cos x + log (sin x ) * cos x `
` = cos x [ 1 + log (sin x )] `
या ` (dv)/(dx) = v cos x [ 1 + log (sin x ) ]`
या `(dv)/(dx) = (sin x )^(sin y) cos x [ 1 + log (sin x)]" "` ...(vi)
[समीकरण (iii) से, ]
अब समीकरण (iv), (v), व (vi) से,
` (dy)/(dx) = x^(x) (1 + log x ) + ( sin x )^(sin x ) `
` cos x [ 1 + log sin x ] `