अंतराल [1, 3] में फलन `f(x) =x^(2)-5x^(2)-3x` के लिए माधयम प्रमेय सत्यापित कीजिये | (अथवा) माध्यम प्रमेय सत्यापित कीजिये, यदि अन्तराल [a, b] में `f(x)=x^(3)-5x^(2)-3x`, जहाँ a = 1, b = 3 है । `f'( c) = 0` के लिए `c ne(1, 3)` को ज्ञात कीजिये ।

Explanation

` f (x) = x^(3) - 5x^(2) - 3x `
f(x) एक बहुपद फलन है, अतः संवृत अन्तराल [1,3] में संतत तथा विवृत अन्तराल (1,3) में अवकलनीय है
अपिच , ` f (1) = (1)^(3) - 5 (1)^(2) - 3 (1) = 1- 5 - 3 =-7`
`f (3) = (3) ^(3) - 5 (3)^(3) - 3 (3) = 27 - 45 - 9 = - 27`
साथ ही , ` f' (x) = 3x^(2) - 10 x - 3 `
लैंग्राज के माध्यम प्रमय के अनुसार कम - से - कम एक बिंदु `c in (1,3)` ऐसा होना चाहिए की
` f'(c) = (f (b)-f(b))/(b-a) `
या ` 3c^(2) - 10 c - 3 = (f(3) - f(1))/(3-1)`
या `3c^(2) - 10c - 3 = (-27-(7))/(3-1)`
या ` 3c^(2) - 10 c - 3 = - 10 `
या ` 3c^(2) - 10 c + 7 = 0 `
या `3c^(2) - 3c - 7c + 7 = 0 `
या ` 3c(c-1) - 7 (c-1) = 0 `
या `c= 1, 7/3 `
हम पाते है कि ` 1, 7/3 in (1,3)`
अतः लैंग्राज का माध्यम प्रमेय सत्यापित होता है