एक पतली अति चालक (शून्य प्रतिरोध) की एक वल्य ऊर्ध्वाधर लम्बी परिनालिका के ऊपर चित्रानुसार रखी हुई है | वल्य की सममित अक्ष परिनालिका की अक्ष के समान है | वलय के चारों ओर बेलनाकार सममित चुंबकीय क्षेत्र को चुंबकीय क्षेत्र सदिश के ऊर्ध्वाधर तथा त्रिज्यीय घटक के पदों में `B_(z) = B_(0) (1 - alpha z)` तथा `B_(r) = B_(0) beta r` के अनुसार दर्शाया जा सकता है, जहाँ `B_(0), alpha` तथा `beta` धनात्मक नियतांक है तथा z व r क्रमश: ऊर्ध्वाधर तथा त्रिज्यीय स्थितियों के निर्देशांक हैं | प्रारम्भ में वलय का तल क्षैतिज है तथा इसमें कोई धारा प्रवाहित नहीं है | जब इसे छोड़ा जाता हैं तो यह इसकी ऊर्ध्वाधर अक्ष के अनुदिश नीचे की ओर गति प्रारम्भ करती है | वलय के केंद्र 'O' का प्रारम्भिक निर्देशांक z = 0 तथा r = 0 है |
दिए गए चित्र में बिंदु O अक्ष पर स्थित हैं तथा यह परिनालिका के थोड़ा सा ऊपर है | 'O' के ऊर्ध्वाधर तथा त्रिज्यीय स्थिति निर्देशांक (0, 0) है, वलय का द्रव्यमान m, त्रिज्या `r_(0)` तथा स्वप्रेरकत्व L है | गुरुत्वीय मानें |

वलय के सरल आवर्त गति (z-अक्ष के अनुदिश अल्प विस्थापन के लिए) का आवर्तकाल ज्ञात कीजिए |

Options

A. `(1)/(B_(0)r_(0)^(2)) sqrt((2mL)/(alpha beta))`
B. `(1)/(2 B_(0)r_(0)^(2)) sqrt((2mL)/(alpha beta))`
C. `(1)/(B_(0)r_(0)^(2)) sqrt((mL)/(3 alpha beta))`
D. इनमें से कोई नहीं

Answer

A

Explanation

किसी स्थिति पर कुल चुंबकीय फ्लक्स `phi = B_(z)pi r_(0)^(2) - LI`
चूँकि R = 0, अत: `phi = B_(0) (1 - alpha z) pi r_(0)^(2) - LI` = नियतांक
प्रारम्भिक शर्त से (z = 0, I = 0), नियतांक का मान `phi = B_(0) pi r_(0)^(2)`
वलय में धारा की उपरोक्त समीकरण के उपयोग से `I = (1)/(L) B_(0) alpha pi r_(0)^(2)z`
वलय पर कार्यरत लोरेंज बल (जो सममिती के कारण केवल ऊर्ध्वाधर हो सकता है) को निम्न प्रकार प्रदर्शित कर सकते हैं `F_(z) = - B_(r) I(z) 2pi r_(0) = - (2B_(0)^(2) alpha beta pi^(2) r_(0)^(4) z)/(L) = - kz`
वलय की गति के समीकरण से `ma_(z) = f_(z) - mg = - kz - mg`
साम्यावस्था स्थिति `z_(0) = - mg//k`
`omega_(0) = sqrt((k)/(m))`