If `y=e^(ax)` sin bx then prove that `(d^2y)/(dx^(2))-2a(dy)/(dx)+(a^(2)+b^(2))y=0`.

Explanation

`y=e^(ax). Sinbx`
`rArr (dy)/(dx)=e^(ax). d/(dx)sin bx+sin bx. d/(dx)e^(ax)`
`=b e^(ax)cos bx +a. sin bx . e^(ax)`
`rArr(d^2y)/(dx^(2))=b[e^(ax). d/(dx)cos bx +cos bx. d/(dx)e^(ax)]`
`+a[sin bx . d/(dx)e^(ax)+e^(ax)d/(dx)sin bx ]`
`=b[-be^(ax)sin bx+a. e^(ax) cos bx]`
`+a[a. e^(ax)sin bx +a .e^(ax)cos bx]`
`=-b^2e^(ax) sin bx+2abe^(ax)cos bx+a^2. e^(ax) sin bx `
Now L.H.S.
`(d^2y)/(dx^2)-2a(dy)/(dx)+(a^2+b^2)y`
`=(-b^2e^(ax)sin bx +2ab. e^(ax)sin bx)`
`-2a. (b. e^(ax)cosbx +a. sin bx . e^(ax))`
`+(a^2+b^2)e^(ax)sin bx`
`e^(ax)[-b^2sin bx +2ab cosbx+a^2 sinbx -2ab cosbx-2a^2sin bx+a^2sinbx+b^2sin bx]`
`=0=R.H.S.`