If `A=[{:(costheta,sintheta),(sintheta,-costheta):}]`, `B=[{:(1,0),(-1,1):}]` , `C=ABA^(T)`, then `A^(T)C^(n)A` equals to `(n in I^(+))`

Options

A. `[{:(-n,1),(1,0):}]`
B. `[{:(1,-n),(0,1):}]`
C. `[{:(0,1),(1,-n):}]`
D. `[{:(1,0),(-n,1):}]`

Answer

D

Explanation

`(d)` `A=[{:(costheta,sintheta),(sintheta,-costheta):}]`
`:.AA^(T)=I`…….`(i)`
Now, `C=ABA^(T)`
`impliesA^(T)C=BA^(T)`………`(ii)`
Now`A^(T)C^(n)A=A^(T)C C^(n-1)A=BA^(T)C^(n-1)A` (from `(ii)`)
`=BA^(T)C C^(n-2)A=B^(2)A^(T)C^(n-2)A=…..`
`=B^(n-1)A^(T)CA=B^(n-1)BA^(T)=B^(n)=[{:(1,0),(-n,1):}]`