माना `g_(i) : [pi/8, (3pi)/8] rarr R ,i=1,2` तथा `f: [pi/8, (3pi)/8] rarr R ` फलन है जो इस प्रकार हैं कि सभी `x in[pi/8 ,(3pi)/8]` के लिए `g_1(x) = 1, g_2(x) = |4x - pi|` तथा `f(x) = sin^2x` है। `S_i =int_(pi/8)^((3pi)/8)f(x).g_(i) (x) dx, i = 1,2` को परिभाषित कीजिए
`(48S_2)/(pi^2)` का मान ______ है

Answer

A

Explanation

`S_2=int_(pi/8)^((3pi)/8)sin^2x.|4x-pi|dx`
`=int_(pi/8)^((3pi)/8)4sin^2x |x-pi/4|dx`
मान `x-pi/4 = t implies dx = dt`
`S_2=int_(-pi/8)^((pi)/8)4sin^2 (pi/4+t)|t|dt`
`int_(-pi/8)^((pi)/8)2(1-cos2(pi/4+t)|t|dt`
`int_(-pi/8)^((pi)/8)(2+2sin2t)|t|dt`
`2=int_(-pi/8)^((pi)/8)|t|dt+2int_(-pi/8)^((pi)/8)|t|sin(2t)dt`
`=4int_(0)^((pi)/8)tdt+0`
`S_2=2t^2]_0^(pi/8)=pi^2/32`
`implies (48S_2)/pi^2=3/2`