माना A प्रकार की x तथा B प्रकार की y गुड़ियों के उत्पादन का लाभ अधिकतम है।
कम्पनी प्रति गुड़िया ₹ 12 लाभ तथा ₹ 16 लाभ होता है।
`rArr "लाभ" Z=12x +16y`
x + y का उत्पादन स्तर 1,200 से अधिक नहीं हो सकता है।
`x+ 3y le 1,200`
प्रकार के गुड़ियाँ का उत्पादन स्तर प्रकार के गुड़ियों के उत्पादन स्तर के तीन गुने से कम है |
`rArr x-3y le 600`
B प्रकार की गुड़ियाँ की माँग अधिक से अधिक A प्रकार की गुड़ियों से की माँग की आधी है |
`y le x/2 `
अधिकतम `Z =12 x + 16 y `
अवरोध है `x+y le 1200`
`x-3y le 600 ,y le x/2 ,x,y, ge 0 `
रेखा x+y=1200 बिंदुओं A(1200,0) तथा B(0, 1200) से गुजरती है |
`x+y le 1200` में (0,0) रखने पर `0 le 1200` जो सत्य है |
अतः ` x+y le 1200` AB पर या AB के नीचे स्थित है | (ii) रेखा x-3y= 600 बिंदुओं C(600,0) तथा D(0,-200) से गुजरती है | `x-3y 600 ` ,में (0,0) रखने पर `0 le 600` जो सत्य है | अर्थात `x- 3y le 600,` CD पर और CD के ऊपर स्थित है |
(iii) `y =x/2` बिंदुओं (800,400) और (0,0) से गुजरती है| x=200 ,y=0 रखने पर `0 le (200)/(2)` जो सत्य है | अतः (200,0) OP इस क्षेत्र में स्थित है |
(iv) ` x ge 0,y ` अक्ष पर और उसके दायी ओर स्थित है |
(v) `y ge 0,x ` अक्ष पर या उसके ऊपर स्थित है |
छायांकित भाग PQCO घिरे हुए को प्रदर्शित करता है | बिंदु P निम्न रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है |
` x+y =1200,y =x/2` हल करने पर के निर्देशांक(800,400) है |
बिंदु Q निम्न रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु है |
`x+y=1200`
x -3y = 600
घटने पर `4y= 600 ,y = 150 `
तथा x=1200-150= 1050
` therefore ` बिंदु Q(600,0) है
बिंदु C(600,0) है |
उद्देश्य फलन है: z= 12x+16 y
P(800,400) पर, z= 9600 +6400 = 16000
Q(1050,150) पर, `Z= 12 xx 1050 +16 xx 150`
= 12600 + 2400 = 15000
C(600,0) पर `Z =12 xx 600 + 0`
=7200 +0 = 7200
O(0,0) पर Z=0
`rArr P` (800,400) पर Z अधिकतम है | Z का अधिकतम मान ₹ 16000 है | इसलिए A प्रकार की 800 गुड़ियों तथा B प्रकार की 400 गुड़ियों पर अधिकतम लाभ है तथा उत्पादन करने में अधिकतम लाभ ₹ 16000 है |
