एक ठोस गोला, भिन्न नति के दो आनत तलों पर एक ही ऊँचाई से लुढ़कने दिया जाता है। a. क्या वह दोनों बार समान चाल से तली में पहुंचेगा? b. क्या उसको एक तल पर लुढ़कने में दूसरे से अधिक समय लगेगा? c. यदि हां तो किस पर और क्यों?

Explanation

a. माना ठोस गोले की त्रिज्या `R` तथा द्रव्यमान `M` है तथा दोनों आनत तलों की ऊंचाई `h` है।
जब गोकले को आनत तल (ऊंचाई `h`) से लुढ़कने के लिए छोड़ा जाता है तो ऊर्जा संरक्षण के नियम से
गतिज ऊर्जा में वृद्धि `=` स्थितिज ऊर्जा में कमी
`1/2Mv^(2)+1/2I omega^(2)=Mgh`
ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण
`I=2/5MR^(2)` तथा `omega=v/R`
जहां `1/2Iomega^(2)` गोले की घूर्णन गतिज ऊर्जा है।
अतः `1/2Mv^(2)+1/2(2/5MR^(2))xx(v^(2))/(R^(2))=Mgh`
`1/2Mv^(2)+1/5Mv^(2)=Mgh`
`7/10 Mv^(2)=Mgh`
`v=sqrt((10gh)/7)`
अर्थात प्रत्येक गोला प्रत्येक स्थिति में आनत तल की तली पचर समान वेग से पहुंचेगा।
b. तथा c. के लिए
माना आनत तल 1 व 2 पर लुढ़कने में गोले द्वार क्रमशः `t_(1)` व `t_(2)` समय लगता है।
आनत तल पर गोले का त्वरण निम्न सूत्र द्वारा प्रदर्शित करते हैं।
`a=(g sin theta)/((1+(k^(2))/(R^(2))))`
जहां `k` घूर्णन त्रिज्या है। गोले के लिए `k^(2)=2/5R^(2)`
अत: `a=(g sin theta)/((1+(2/5R^(2))/(R^(2))))=( g sin theta)/(1+2/5)=(5g sin theta)/7`
`a=5/7 g sin theta`
पहने आनत तल के लिए
`a_(1)=5/7 g sin theta_(1)`
दूसरे आनत तल के लिए
`a_(2)=5/7 g sin theta_(2)`
माना `d_(1)` तथा `d_(2)` आनत तलों की लम्बाइयां है तथा तली तक पहुंचने में लिए गये समय क्रमशः `t_(1)` व `t_(2)` हैं।
गति के समीकरण अनुसार `v=u+at`
`:' u=0` अतः `v=at`
या `t=v/a`
परंतु तली पर चाल समान रहती है
अतः `t prop 1/a`
`(t_(1))/(t_(2))=(a_(2))/(a_(1))=(sin theta_(2))/(sin theta_(1))`
चूंकि `theta_(2)gt theta_(1)` या `sintheta_(2) gt sin theta_(1)`
या `(sin theta_(2))/(sin theta_(1))gt1` या `(t_(1))/(t_(2))gt1` अर्थात `t_(1) gt t_(2)`
अतः कम आनत कोण वाले तल पर गोले को लुढ़कने में अधिक समय लगेगा।