एक एक - परमाणुक आदर्श गैस एक क्षैतिज बेलन (horizontal cylinder) में स्प्रिंगयुक्त पिस्टन द्वारा बन्द है (चित्र में दर्शाये अनुसार )। प्रारम्भ में गैस का ताप `T_(1)` दाब `P_(1)` तथा आयतन `V_(1)` है तथा स्प्रिंग विश्रान्त अवस्था में है ।अब गैस को बहुत धीरे - धीरे ताप `T_(2)` तक गर्म करने पर दाब `P_(2)` तथा आयतन `V_(2)` हो जाता है । एक प्रक्रिया में पिस्टन x दूरी तय करता है पिस्टन एवं बेलन के बीच घर्षण को नगण्य मानते हुये सही कथन है :

Options

A. यदि `V_(2)=V_(1)` तथा `T_(2)=3T_(1)` है ,तब स्प्रिंग में संचित ऊर्जा `(1)/(4)P_(1)V_(1)` है|
B. यदि `V_(2)=2V_(1)` तथा `T_(2)=3T_(1)` है ,तब आन्तरिक ऊर्जा में परिवर्तन `3P_(1)V_(1)` है |
C. यदि `V_(2)=3V_(1)` तथा `T_(2)=4T_(1)` है ,तब गैस द्वारा किया गया कार्य `(7)/(3)P_(1)V_(1)` है|
D. यदि `V_(2)=3V_(1)` तथा `T_(2)=4T_(1)` है , तब गैस को दी गयी ऊष्मा `(17)/(6)P_(1)V_(1)` है|

Answer

B

Explanation

(a) `(P_(1)V_(1))/(T_(1))=(P_(2)V_(2))/(T_(2))=P_(2)(2V_(1))/(3T_(1))rArrP_(2)=(3P_(1))/(2)`
`P_(2)A=kx rArrP_(2)Ax=kx^(2)`
स्प्रिंग में ऊर्जा `=(1)/(2)kx^(2)=(1)/(2)P_(2)Ax=(1)/(2)P_(2)(V_(2)-V_(1))`
`=(1)/(2)xx(3)/(2)P_(1)(2V_(1)-V_(1))=(3)/(4)P_(1)V_(1)`
विकल्प (a) सही नहीं है|
(b) एक परमाणु गैस कि आन्तरिक ऊर्जा `=(3)/(2)`nRT
`thereforeDeltaU=(3)/(2)nR(T_(2)-T_(1))`
`=(3)/(2)(P_(2)V_(2)-P_(1)V_(1))`
परन्तु `(P_(1)V_(1))/(T_(1))=(P_(2)2V_(1))/(3T_(1))rArrP_(2)=(3)/(2)P_(1)`
`DeltaU=(3)/(2)[(3)/(2)P_(1)2V_(1)-P_(1)V_(1)]=3P_(1)V_(1)`
विकल्प (b) सही है।
(c ) `(P_(1)V_(1))/(T_(1))=(P_(2)3V_(1))/(4T_(1))rArrP_(2)=(4)/(3)P_(1)`
`=(1)/(2)xx(4)/(3)P_(1)(3V_(1)-V_(1))`
`=(4)/(3)P_(1)V_(1)`. विकल्प (c ) सही नहीं है।
(d) `DeltaU=(3)/(2)(P_(2)V_(2)-P_(1)V_(1))`
परन्तु `(P_(1)V_(1))/(T_(1))=(P_(2)V_(2))/(T_(2))=P_(2)(3V_(1))/(4T_(1))`
अथवा `P_(2)=(4)/(3)P_(1)`
`thereforeDeltaU=(3)/(2)(P_(2)V_(2)-P_(1)V_(1))`
`=(3)/(2)((4)/(3)P_(1)V_(1)-P_(1)V_(1))=(9)/(2)P_(1)V_(1)`
`DeltaW=(4)/(3)P_(1)V_(1)`
`thereforeDeltaQ=W+Deltau`
`=(4)/(3)P_(1)V_(1)+(9)/(2)P_(1)V_(1)=(35)/(6)P_(1)V_(1)`
विकल्प (d) सही नहीं है ।