यदि `(1-x+x^(2))^(4)=1+P_(1)x+P_(2)x^(2)+P_(3)x^(3)+...+P_(8)x^(8)`, तो सिद्ध कीजिए कि -
`P_(2)+P_(4)+P_(6)+P_(8)=40` और
`P_(1)+P_(3)+P_(5)+P_(7)=-40`

Explanation

प्रश्नानुसार
`(1-x+x^(2))^(4)=1+P_(1)x+P_(2)x^(2)+P_(3)x^(3)+...+P_(8)x^(8)` . . . (1)
दोनों पक्षों में x=1 रखने पर
`1=1+P_(1)+P_(2)+P_(3)+...+P_(8)` . . . (2)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों में x=-1 रखने पर
`3^(4)=1-P_(1)+P_(2)-P_(3)...+P_(8)`...(3)
समीकरण (2) और (3) को जोड़ने पर `82=2(1+P_(2)+P_(4)+P_(6)+P_(8))`
`rArrP_(2)+P_(4)+P_(6)+P_(8)=40`
समीकरण (2) से समीकरण (3) को घटाने पर
`-80=2(P_(1)+P_(3)+P_(5)+P_(7))`
`rArrP_(1)+P_(3)+P_(5)+P_(7)=-40`
अतः `P_(2)+P_(4)+P_(6)+P_(8)=40`
और `P_(1)+P_(3)+P_(5)+P_(7)=-40` यही सिद्ध करना था।