यदि n एक धन पूर्णांक है तथा `(x+a)^(n)` के विस्तार में विषम पदों का योगफल O और सम पदों का योगफल E है ,तो सिद्ध कीजिए कि -
(i) `O^(2)-E^(2)=(x^(2)-a^(2))^(n)`
(ii) `4OE=(x+a)^(2n)-(x-a)^(2n)`
`2(O^(2)+E^(2))=(x+a)^(2n)+(x-a)^(2n)`

Explanation

`(x+a)^(n)=.^(n)C_(0)*x^(n)+.^(n)C_(1)*x^(n-1)*a+.^(n)C_(2)*x^(n-2)*a^(2)+.^(n)C_(3)*x^(n-3)*a^(3)+...+.^(n)C_(n-1)*x*a^(n-1)+.^(n)C_(n)*a^(n)`
`=[.^(n)C_(0)*x^(n-2).a^(2)+.^(n)C_(4)*x^(n-4)*a^(4)+...]+[.^(n)C_(1)*x^(n-1)*a+.^(n)C_(3)*x^(n-3)*a^(3)+.^(n)C_(5)*x^(n-5)*a^(5)+...]`
`rArr(x+a)^(n)=O+E` (प्रश्नानुसार) ...(1)
और `(x-a)^(n)=.^(n)C_(0)*x^(n)-.^(n)C_(1)*x^(n-1)*a+.^(n)C_(2)*x^(n-2)*a^(2)-.^(n)C_(3)*x^(n-3)*a^(3)+...+.^(n)C_(n-1)*x*.^(n)C_(n-1)*x*(-a)^(n-1)+.^(n)C_(n)*(-a)^(n)`
`=[.^(n)C_(0)x^(n)+.^(n)C_(2)x^(n-2)*a^(2)+.^(n)C_(4)*x^(n-4)*a^(4)+...]-[.^(n)C_(1)*c^(n-1)*a+.^(n)C_(3)*x^(n-3)a^(3)+.^(n)C_(5)*c^(n-5)*a^(5)+...]`
`rArr(x-a)^(n)=O-E` . . . (2)
(i) L.H.S `=O^(2)-E^(2)`
`=(O+E)*(O-E)`
`=(x+a)^(n)*(x-a)^(n)`
`=[(x+a)*(x-a)]^(n)`
`=(x^(2)-a^(2))^(n)=`R.H.S. यही सिद्ध करना था।
(ii) L.H.S = 4 OE
`=(O+E)^(2)-(O-E)^(2)`
`=[(x+a)_(2n)^(n)]^(2)-[(x-a)^(n)]^(2)`
`=(x+a)^(2n)-(x-a)^(2n)=`R.H.S. यही सिद्ध करना था।
(iii) L.H.S `=2(O^(2)+E^(2))`
`=(O^(2)+E^(2)+2OE)+(O^(2)+E^(2)-2OE)`
`=(O+E)^(2)+(O-E)^(2)`
`=[(x+a)^(n)]^(2)+[(x-a)^(n)]^(2)`
`=(x+a)^(2n)+(x-a)^(2n)=`R.H.S. यही सिद्ध करना था।