यदि एक धन पूर्णांक है ,तो सिद्ध कीजिए कि `(1+x)^(n)` के प्रसार में r वें तथा `(r+1)` वें पदों के गुणांकों का योगफल `(1+x)^(n)` के प्रसार में `(r+1)` वें पद के गुणांक के बराबर है।

Explanation

`(1+x)^(n)` के प्रसार में
`T_(r)=.^(n)C_(r-1)*(1)^(n-(r-1))*x^(r-1)`
`=.^(n)C_(r-1)*x^(r-1)`
r वें पद का गुणांक `=.^(n)C_(r-1)`
और `T_(r+1)=.^(n)C_(r)(1)^(n-r)*x^(r)=.^(n)C_(r)x^(r)`
इसी प्रकार `(1+x)^(n+1)` के प्रसार में
`T_(r+1)=.^(n+1)C_(r)(1)^(n+1-r)*x^(r)=.^(n+1)C_(r)*x^(r)`
`therefore(r+1)` वें पद का गुणांक `=.^(n+1)C_(r)`
अब `(1+x)^(n)` के प्रसार में r वें तथा `(r+1)` वें पदों के गुणांकों का योग
`=.^(n)C_(r-1)+.^(n)C_(r)=(lfloorn)/(lfloorr-1lfloorn-r+1)+(lfloorn)/(lfloorrlfloorn-r)`
`=(lfloorn)/(lfloorr-1lfloorn-r)*[(1)/(n-r+1)+(1)/(r)]`
`=(lfloorn)/(lfloorr-1lfloorn-r)*(r+n-r+1)/((n-r+1)*r)`
`=(lfloorn(n+1))/(lfloorrlfloorn-r+1)=(lfloorn+1)/(lfloorrlfloor(n+1)-r)=.^(n+1)C_(r)`
`=(1+x)^(n+1)` के प्रसार में (r+1) वें पद का गुणांक यही सिद्ध करना था।