यदि `(1+x)^(n)` के प्रसार में 6 वाँ, 7 वाँ ,8वाँ और 9वाँ पद क्रमशः a,b,c और d हैं, तो सिद्ध कीजिए कि -
`(b^(2)-ac)/(c^(2)-bd)=(4a)/(3c)`

Explanation

`(1+x)^(n)` के प्रसार में
`(T_(r+1))/(T_(r))=(.^(n)C_(r)*x^(r))/(.^(n)C_(r-1)*x^(r-1))`
`=(lfloornlfloorr-1lfloorn-r+1)/(lfloorrlfloorn-rlfloorn)*x`
`=(lfloorr-1(n-r+1)lfloorn-r)/(rlfloorr-1lfloorn-r)*x`
`rArr(T_(r+1))/(T_(r))=(n-r+1)/(r)*x` (याद रखें)
`therefore(T_(7))/(T_(6))=(n-6+1)/(6)*x`
`rArr(b)/(a)=(n-5)/(6)*x` . . . (1)
`(T_(8))/(T_(7))=(n-7+1)/(7)*x`
`rArr(c)/(b)=(n-6)/(7)x` . . . (2)
और `(T_(9))/(T_(8))=(n-8+1)/(8)*x`
`rArr(d)/(c)=(n-7)/(8)x` . . . (3)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से और समीकरण (2) को समीकरण (3) से भाग देने पर
`(b^(2))/(ac)=(7(n-5))/(6(n-6))` . . . (4)
और `(c^(2))/(bd)=(8(n-6))/(7(n-7))` . . . (5)
अब `(b^(2))/(ac)-1=(7n-35)/(6n-36)-1`
`rArr(b^(2)-ac)/(ac)=(1+n)/(6n-36)` . . . (6)
और `(c^(2))/(bd)-1=(8n-48)/(7n-49)-1`
`rArr(c^(2)-bd)/(bd)=(n+1)/(7n-49)` . . . (7)
समीकरण (6) को समीकरण (7) से भाग देने पर
`(b^(2)-ac)/(ac)*(bd)/(c^(2)-bd)=(7n-49)/(6n-36)`
`(b^(2)-ac)/(c^(2)-bd)*(bd)/(ac)=(7(n-7))/(6(n-6))` . . . (8)
समीकरण (3) को समीकरण (2) से भाग देने पर
`(d xxb)/(cxxc)=(n-7)/(8)*(7)/(n-6)`
`rArr(8bd)/(7c^(2))=(n-7)/(n-6)` . . . (9)
समीकरण (8) और (9) से
`(b^(2)-ac)/(c^(2)-bd)*(bd)/(ac)=(7)/(6)*(8bd)/(7c^(2))`
`rArr(b^(2)-ac)/(c^(2)-bd)=(4a)/(3c)` यही सिद्ध करना था।