यदि `(1+x)^(n)` के प्रसार में द्विपद गुणांक `C_(0),C_(1),C_(2),...,C_(n)` हैं, तो सिद्ध कीजिए कि -
`C_(0)^(2)``+C_(1)^(2)``+C_(2)^(2)``+...``+C_(n)^(2)``=(lfloor(2n))/(lfloorn*lfloorn)`

Explanation

`(1+x)^(n)``=C_(0)``+C_(1)x``+C_(2)x^(2)``+...``+C_n (x^(n)))`

और `(x+1)^(n)``=C_(0)x^(n)``+C_(1)x^(n-1)``+C_(2)x^(n-2)``+...``+C_(n)`

दोनों समीकरणों का गुणा करने पर
`(1+x)^(2n)``=(C_(0)``+C_(1)x``+C_(2)x^(2)``+...``+C_(n)x^(n))``*(C_(0)x^(n)``+C_(1)x^(n-1)``+C_(2)x^(n-2)``+...``+C_(n))`

अब ऊपर गुणा करने पर जहाँ-जहाँ चर `x^n` आएगा उसे देखे
`x^n` के निम्न गुणांक प्राप्त होंगे

`C_(0)^(2)``+C_(1)^(2)``+C_(2)^(2)``+...``+C_(n)^(2)``=(1+x)^(2n)` के प्रसार में `x^(n)` का गुणांक ....(i)

यहाँ `(1+x)^(2n)` के प्रसार में
`T_(n+1)=.^(2n)C_(n)*(1)^(2n-n)*x^(n)`

`=.^(2n)C_(n)*x^(n)`

`thereforex^(n)` का गुणांक `=.^(2n)C_(n)``=(lfloor2n)/(lfloorn*lfloorn)`....(ii)

समी (i) व (ii) से
`C_(0)^(2)``+C_(1)^(2)``+C_(2)^(2)``+...``+C_(n)^(2)``=(lfloor2n)/(lfloorn*lfloorn)`

सिध्द हुआ