यदि `(1+x)^(n)` के प्रसार में द्विपद गुणांक `C_(0),C_(1),C_(2),...,C_(n)` हैं ,तो सिद्ध कीजिए कि - `C_(0)C_(2)+C_(1)C_(3)+C_(2)C_(4)+...+C_(n-2)*C_(n)=(lfloor2n)/(lfloorn-2lfloorn+2)`

Explanation

`(1+x)^(n)=C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+C_(3)x^(3)+...+C_(n)x^(n)`
और `(1+x)^(n)=C_(0)x^(n)+C_(1)x^(n-1)+C_(2)x^(n-2)+C_(3)x^(n-3)+...+C_(n)`
अब `(1+x)^(2n)=(C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+...+C_(n)x^(n))`
`(C_(0)x^(n)+C_(1)x^(n-1)+C_(2)x^(n-2)+C_(3)x^(n-3)+...+C_(n))`
अब `C_(0)C_(2)+C_(1)C_(3)+C_(2)C_(4)+...+C_(n-2)*C_(n)=(1+x)^(2n)` के विस्तार में `x^(n-2)` का गुणांक
`therefore(1+x)^(2n)` के प्रसार में
`T_(r+1)=.^(2n)C_(r)*(1)^(2n-r)*x^(r)`
`=2^(2n)C_(r)*x^(r)`
`thereforex^(n-2)` का गुणांक `=.^(2n)C_(n-2)=(lfloor2n)/(lfloorn-2lfloorn+2)`
अतः `C_(0)C_(2)+C_(1)C_(3)+C_(1)C_(3)+C_(2)C_(4)+...+C_(n-2)*C_(n)=(lfloor2n)/(lfloorn-2lfloorn+2)` यही सिद्ध करना था।