यदि a और b भिन्न -भिन्न पूर्णांक हों,तो सिद्ध कीजिए कि `(a^(n)-b^(n))` का एक गुणनखंड `(a-b)` है , जबकि n एक धन पूर्णांक है।
[संकेत `a^(n)=(a-b+b)^(n)` लिखकर प्रसार कीजिए ।]

Explanation

`a^(n)-b^(n)`
`={(a-b)+b}^(n)-b^(n)`
`=[.^(n)C_(0)*(a-b)^(n)+^(n)C_(1)*(a-b)^(n-1)*b+^(n)C_(2)*(a-b)^(n-2)*b^(2)+...+^(n)C_(n-1)(a-b)*b^(n-1)+^(n)C_(n)*b^(n)]-b^(n)`
`=(a-b)[.^(n)C_(0)(a-b)^(n-1)+^(n)C_(1)*(a-b)^(n-2)*b+^(n)C_(2)(a-b)^(n-1)]+b^(n)-b^(n)`
`=(a-b)[.^(n)C_(0)(a-b)^(n-1)+^(n)C_(1)*(a-b)^(n-2)*b+^(n)C_(2)(a-b)^(n-3)*b^(2)+...+^(n)C_(n-1)*b^(n-1)]`
जो (a-b) से विभाज्य है।
अतः `(a^(n)-b^(n)),n` के सभी धन पूर्णांक के लिए (a-b) से विभाज्य है। यही सिद्ध करना था।