यदि `("^(4)sqrt(2)+(1)/(.^(4)sqrt(3)))^(n)` के प्रसार में आरंभ से 5 वें और अंत से 5 वें पद का अनुपात `sqrt(6):1` हों तो n ज्ञात कीजिए ।

Explanation

`(.^(4)sqrt(2)+(1)/(.^(4)sqrt(3)))^(n)` के प्रसार में पदों की कुल संख्या का अनुपात `=sqrt(6):1=(6)^(1/2)(n+1)` है।
`therefore` प्रारम्भ से 5 वाँ पद `T_(5)=^(n)C_(4)(.^(4)sqrt(2))^(n-4)((1)/(.^(4)sqrt(3)))^(4)`
`=(lfloorn)/(lfloor4lfloorn-4)*(.^(4)sqrt(2))^(n-4)*((1)/(3))^(1/4xx4)`
`thereforeT_(5)=(n(n-1)(n-2)(n-3))/(4*3*2*1)*(.^(4)sqrt(2))^(n-4)*((1)/(3))` ... (1)
`because` प्रारम्भ में कुल पद n+1 हैं।
`therefore` अन्त से 1 वाँ पद `=(n+1)` वाँ पद `=T_(n+1)`
अन्त से 2 वाँ पद =n वाँ पद `=T_(n)`
अन्त से 3 वाँ पद `=(n-1)` वाँ पद `=T_(n-1)`
अन्त से 4 वाँ पद `=(n-2)` वाँ पद `=T_(n-2)`
अन्त में 5वाँ पद प्रारम्भ से `=(n-3)` वाँ पद `=T_(n-3)`
तब , अन्त से 5वाँ पद
`=T_(n-3)=^(n)C_(n-4)(.^(4)sqrt(2))^(n-(n-4)).((1)/(.^(4)sqrt(3)))^(n-4)`
`=(lfloorn)/(lfloorn-4*lfloor4)*2*((1)/(.^(4)sqrt(3)))^(n-4)`
`thereforeT_(n-3)=(n(n-1)(n-2)(n-3))/(4*3*2*1)*2*((1)/(.^(4)sqrt(3)))^(n-4)` ...(2)
तब प्रारम्भ से 5 वें और अन्त से 5 वें पदों का अनुपात
`(T_(5))/(T_(n-3))`
`=((n(n-1)(n-2)(n-3))/(4*3*2*1)(.^(4)sqrt(2))^(n-4)*(1)/(3))/((n(n-1)(n-2)(n-3))/(4*3*2*1)*2*((1)/(.^(4)sqrt(3)))^(n-4))`
`=((2)^((n-4)/(4))(.^(4)sqrt(3))^(n-4))/(3*2)=((2)^((n-4)/(4))(3)^((n-4)/(4)))/(6)`
`=((2xx3)^((n-4)/(4)))/(6)`
`=(6)^((n-4)/(4))*6^(-1)=(6)^(((n-4)/(4)-1))=(6)^((n)/(4)-2)`
परन्तु प्रश्न में दिया है की प्रारम्भ से 5 वें और अन्त से 5 वें पदों
`therefore6^(((n)/(4)-2))=6^(1/2)rArr(n)/(4)-2=(1)/(2) या (n)/(4)=2+(1)/(2)`
या `(n)/(4)=(5)/(2)rArrn=10`
अतः n =10