`x^(3)+3x^(2)+3x+1` को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) `x+1` (ii) `x-(1)/(2)` (iii) `x`
(vi) `x+pi` (v) `5+2x`

Explanation

माना `p(x)=x^(3)+3x^(2)+3x+1`
(i) `x+1` का शून्यक `-1` है |
`" "(becausex+1=0rArrx=-1)`
अतः `p(-1)=(-1)^(3)+3(-1)^(2)+3(-1)+1`
`rArr" "p(-1)=-1+3-3+1`
`rArr" "p(-1)=0`
`:." "` शेषफल `=0" "` (शेषफल प्रमेय से)
(ii) `x-(1)/(2)` का शून्यक `(1)/(2)` है ।
अतः `p((1)/(2))=((1)/(2))^(3)+3((1)/(2))^(2)+3((1)/(2))+1`
`=(1)/(8)+(3)/(4)+(3)/(2)+1=(1+6+12+8)/(8)`
`rArr" "p((1)/(2))=((27)/(8))`
`:." "` शेषफल `=(27)/(8)" "` (शेषफल प्रमेय से)
(iii) `x` का शून्यक `=0`
अतः `p(0)=(0)^(3)+3(0)^(2)+3(0)+1`
`=0+0+0+1`
`rArr" "p(0)=1`
`:." "` शेषफल `=1" "` (शेषफल प्रमेय से)
(iv) `x+pi` का शून्यक `=-pi` है |
अतः `p(-pi)=(-pi)^(3)+3(-pi)^(2)+3(-pi)^(2)+3(-pi)+1`
`rArr" "p(-pi)=-pi^(3)+3pi^(2)-3pi+1`
`:." "` शेषफल `=-pi^(3)+3pi^(2)-3pi+1` (शेषफल प्रमेय से)
(v) `5+2x` का शून्यक `x=-(5)/(2)` है |
अतः `p(-(5)/(2))=(-(5)/(2))^(2)+3(-(5)/(2))^(2)+3(-(5)/(2))+1`
`=-(125)/(8)+(75)/(4)-(15)/(2)+1`
`=(-125+150-60+8)/(8)=-(27)/(8)`
`:." "` शेषफल `=(27)/(8)" "` (शेषफल प्रमेय से)