बताइए कि निम्नलिखित बहुपदो में से किस बहुपद का एक गुणनखण्ड `x+1` है ।
(i) `x^(3)+x^(2)+x+1`
(ii) `x^(4)+x^(3)+x^(2)+x+1`
(iii) `x^(4)+3x^(3)+3x^(2)+x+1`
(iv) `x^(3)-x^(2)-(2+sqrt(2))x+sqrt(2)`

Explanation

`x+1=0" "rArr" "x=-1`
(i) माना `p(x)=x^(3)+x^(2)+x+1`
`:." "p(-1)=(-1)^(3)+(-1)^(2)+(-1)+1`
`=-1+1-1+1=0`
`rArrx+1,x^(3)+x^(2)+x+1` का एक गुणनखण्ड है ।
(ii) माना `q(x)=x^(4)+x^(3)+x^(2)+x+1`
`:." "q(-1)=(-1)^(4)+(-1)^(3)+(-1)^(2)+(-1)+1`
`=1-1+1-1+1`
`=1!=0`
`:.x+1,x^(4)+x^(3)+x^(2)+x+1` का गुणनखण्ड नहीं है |
(iii) माना `r(x)=x^(4)+3x^(3)+3x^(2)+x+1`
`:." "r(-1)=(-1)^(4)+3(-1)^(3)+3(-1)^(2)+(-1)+1=1-3+3-1+1=1!=0`
`:.x+1,x^(4)+3x^(3)+x+1` का गुणनखण्ड नहीं है |
माना `s(x)=x^(3)-x^(2)-(2+sqrt(2))x+sqrt(2)`
`:.s(-1)=(-1)^(3)-(-1)^(2)-(2+sqrt(2))(-1)+sqrt(2)`
`=-1-1+2+sqrt(2)+sqrt(2)=2sqrt(2)!=0`
`:.x+1,x^(3)-x^(2)-(2+sqrt(2))x+sqrt(2)` का गुणनखण्ड नहीं है ।