`int(dx)/(sinx+sin2x)` का मान ज्ञात कीजिए ।

Explanation

यदि `" " I=int(dx)/(sinx+sin2x)`
`=int(dx)/(sinx+2 sinx cosx)`
`=int(dx)/(sinx(1+2 cosx))`
माना `cos x = t rArr - sin x dx = dt`
तब `" "I=int(-(dt)/(sinx))/(sinx(1+2t))=-int(dt)/(sin^(2)x(1+2t))`
`=-int(dt)/((1-t^(2))(1+2t))" ...(1)"`
समीकरण `(1)/((1-t^(2))(1+2t))` को आंशिक भिन्नों में व्यक्त करने पर ,
`(1)/((1-t^(2))(1+2t))=(A)/(1-t)+(B)/(1+t)+(C)/(1+2t)`
`rArr 1 = A(1+t)(1+2t)+B(1-t)(1+2t)+c(1-t)(1+t)" ...(2)"`
समीकरण (2 ) में `t=1, -1` व `-(1)/(2)` रखने पर
`A=(1)/(6), B=-(1)/(2),C=(4)/(3)`
तब समीकरण (1 ) व (2 ) से
`I=-int[(1)/(6).(1)/(1-t)-(1)/(2).(1)/(1+t)+(4)/(3).(1)/(1+2t)]dt`
`=-[-(1)/(6)log(1-t)-(1)/(2)log|1+t|+(4)/(3).(1)/(2)log|1+2t|+c]`
`=(1)/(6)log|1-cos x|+(1)/(2)log|1+cosx|-(2)/(3)log|1+2cos x|+c`