(a) `y=ax^(2)+bx+c` के लिये अवकल समीकरण ज्ञात कीजिये जबकि a, b, c स्वेच्छ अचर है।
(b) `y=Ae^(2x)+Be^(x)+C` के लिये अवकल समीकरण ज्ञात कीजिये जबकि A, B तथा C स्वेच्छ अचर है।

Explanation

`y=ax^(2)+bx+c`
`:.(dy)/(dx)=2ax+b`
`(d^(2)y)/(dx^(2))=2aimplies(d^(3)y)/(dx^(3))=0`
अतः अभीष्ट अवकल समीकरण `(d^(3)y)/(dx^(3))=0` है।
(b) `y=Ae^(2x)+Be^(x)+C" "......(1)`
`(dy)/(dx)=2Ae^(2x)+Be^(x)" "......(2)`
`(d^(2)y)/(dx^(2))=4Ae^(2x)+Be^(x)" ".......(3)`
तथा `(d^(3)y)/(dx^(3))=8Ae^(2x)+Be^(x)" "......(4)`
समीकरण (4) में से (3) को घटाने पर,
`(d^(3)y)/(dx^(3))-(d^(2)y)/(dx^(2))=8Ae^(2x)+Be^(x)-4Ae^(2x)-Be^(x)`
`=4Ae^(2x)" "......(5)`
समीकरण (3) में से समीकरण (2) घटाने पर,
`(d^(2)y)/(dx^(2))-(dy)/(dx)=2Ae^(2x)+Be^(x)-2Ae^(2x)=Be^(x)`
`implies(d^(2)y)/(dx^(2))-(dy)/(dx)=2Ae^(2x)" "....(6)`
समीकरण (5) व (6) से,
`((d^(3)y)/(dx^(3))-(d^(2)y)/(dx^(2)))=2((d^(2)y)/(dx^(2))-(dy)/(dx))`
`implies(d^(3)y)/(dx^(2))-3(d^(2)y)/(dx^(2))+2(dy)/(dx)=0`
यही अभीष्ट अवकल समीकरण है।