निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य , सममित तथा संक्रमक हैं
(i) समुच्चय `A={1,2,3,..., 13,14}` में सम्बन्ध R , इस प्रकार परिभाषित है कि
`R={(x,y):3x-y=0}`
(ii) प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में `R{(x,y):y=x+5 " तथा " x lt 4}` द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R.
(iii) समुच्चय `A={1,2,3,4,5,6}` में R={(x,y):y भाज्य है x से } द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R है ।
(iv) समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में
R={(x,y):x-y एक पूर्णांक है } द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R .
(v) किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित सम्बन्ध R
(a) R={(x,y):x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं }
(b) R={(x,y):x तथा y एक ही मोहल्ले में रहते हैं }
(c) R={(x,y):x, y से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा है }
(d) R={(x,y):x,y कि पत्नी है}
(e) R={(x,y):x,y के पिता हैं }

Explanation

(i) `A={1,2,3,...,13,14}`
तथा `R={(x,y):3x-y=0}`
स्वतुल्य के लिये `(x,x) in R AA x in A`
परन्तु `3x-y=0rArry=3x`
`:.(x,x)cancelin R` यदि `x=2in A`
`rArr R` स्वतुल्य नहीं है ।
सममित के लिये,`(x,y) in R rArr(y,x) in R AA x, y in R`
अब `(x,y) in R rArr 3x-y=0`
`rArr 3y-x!=0`
`rArr (y,x)cancelin R`
`:.R` सममित नहीं है ।
उदाहरणार्थ `(1,3)in R` तथा `(3,1) cancelin R`
संक्रमक के लिये `(x,y) in R, (y,z) in R rArr (x,z) in R`
`:.(1,3)in R ` तथा `(3,9)in R cancelrArr(1,9) in R`
`rArr R` संक्रमक नहीं है ।
`(ii) R={(x,y):y=x+5 "तथा " x lt 4}` तथा N प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है ।
`rArr R={(1,6),(2,7),(3,8)}`
स्वतुल्य के लिये `(1,1)cancelin R`
`rArr R` स्वतुल्य नहीं है ।
सममित के लिये,`(1,6) in R " " cancelrArr(6,1)in R`
`rArr R` सममित नहीं है ।
संक्रमक के लिये,`(x,y) in R, (y,z) in R rArr (x,z) in R` कोई भी युग्म इस प्रतिबन्ध को संतुष्ट नहीं करता है ।
`:.R` संक्रमक नहीं है ।
`(iii) A = {1,2,3,4,5,6}`
तथा `R={(x,y):y" भाज्य है" x " से"}`
`rArrR={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5),(6,6)}`
प्रत्येक`x in A` के लिये `(x,x) in R` है ।
`:. R` स्वतुल्य है ।
प्रत्येक `x,y in R` के लिये, `(x,y) in R cancelrArr(y,x)in R`
उदाहरणार्थ `(1,2)in R " " cancelrArr(2,1) in R`
`:. R` सममित नहीं है ।
प्रत्येक `x, y, z in A ` के लिये, यदि `(x,y) in R, (y,z) in R` तो `(x,z) in R` है ।
`:.R` संक्रमक है ।
(iv) समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में
`R={(x,y):x-y "एक पूर्णांक है"}`
स्वतुल्य के लिये
`(x,x)in R rArr x-x`,एक पूर्णांक है ।
`rArr 0`, एक पूर्णांक है ।
जो सत्य है ।
`:.R` स्वतुल्य है ।
सममित के लिये`(x,y)in R rArr (x-y)` एक पूर्णांक है |
`rArr (y-x)` एक पूर्णांक है ।
`rArr (y,x) in R`
`:.R`सममित है ।
`:.` संक्रमक के लिये ,
`(x,y) in R` तथा `(y,z) in R`
`rArr (x-y) ` तथा `(y-z)` एक पूर्णांक है ।
`rArr (x-y) + (y-z)` एक पूर्णांक है ।
`rArr (x-z)` एक पूर्णांक है ।`rArr(x,z) in R`
`:. R` संक्रमक है ।
(v)(a) {(x,y : x और x एक ही स्थान पर कार्य करते हैं }
यह सम्बन्ध स्वतुल्य, सममित और संक्रमक है ।
gt (b) R={(x,y) : x, और y एक ही मोहल्ले में रहते हैं }
यह सम्बन्ध स्वतुल्य, सममित और संक्रमक है ।
(c) R ={(x,y):x,y से ठीक - ठीक 7 सेमी लम्बा है ।}
`(x,x)cancelin R`क्योंकि x,x से 7 सेमी लम्बा नहीं हो सकता ।
`:. R ` स्वतुल्य नहीं है ।
`(x,y) in R rArr x,y ` से ठीक-ठीक 7 सेमी लम्बा है ।
`cancel rArr y,x` से ठीक-ठीक 7 सेमी लम्बा है ।
`rArr (y,x) in R `
`:. R` सममित नहीं है ।
`:.(x,y) in R` तथा `(y,z)in R rArr x, y` से तथा `y,z` से ठीक-ठीक 7 सेमी लम्बा है ।
`cancelrArr x,z` से ठीक-ठीक 7 सेमी लम्बा है ।
`cancelrArr (x,y) in R`
`:.R` संक्रमक नहीं है ।
(d) R={(x,y): x,y कि पत्नी है }
`(x,x) cancelin R` क्योंकि `x,x` कि पत्नी नहीं हो सकती है ।
`:.R` स्वतुल्य नहीं है ।
`(x,y) in R rArr x,y` कि पत्नी है ।
`cancelrArr y,x` कि पत्नी है ।
`cancelrArr (y,x) in R`
`:. R` सममित नहीं है ।
`(x,y)in R`तो `(y,z)cancelin R` क्योंकि यदि `x,y` कि पत्नी है तो `y` पुरुष है ।
`:.`R संक्रमक नहीं है
(e) R={(x,y): x,y के पिता हैं }
`(x,x)cancel R`क्योंकि `x,x` का पिता नहीं हो सकता है ।
`:.R` स्वतुल्य नहीं है ।
`(x,y) in R rArr x,y` के पिता हैं ।
`cancelrArr y,x` के पिता हैं ।
`cancel rArr (y,x) in R`
`:.R` सममित नहीं है ।
`(x,y) in R` तथा `(y,z) in R rArr x,y`के तथा `y,z` के पिता है ।
`cancelrArr x,z` के पिता है ।
`cancelrArr(x,z) in R`
`:. R` संक्रामक नहीं है ।