सिद्ध कीजिए कि `A={1,2,3,4,5,}` में, `R={(a,b):|a-b|" सम है" }` द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है । प्रमाणित कीजिए कि `{1,3,5}` के सभी अवयव एक दूसरे से सम्बन्धित हैं और समुच्चय `{2,4}`के सभी अवयव एक दूसरे से सम्बन्धित हैं परन्तु {1,3,5} का कोई भी अवयव {2,4} के किसी अवयव से सम्बन्धित नहीं है ।

Explanation

`A={1,2,3,4,5}`
तथा `R={(a,b):|a-b| " सम है" }`
प्रत्येक `a in A` के लिये
`|a-a|=0` जो सम है ।
`:. (a,a) in R`
` rArr R ` स्वतुल्य है ।
माना `(a,b) in A ` तथा `(a,b) in R `
`rArr |a-b|` सम है `rArr |b-a|` सम हैं ।
`rArr |b,a| in R `
`:. R `सममित है ।
माना `a,b,c,in A` तथा
`(a,b) in R ` और `(b,c) in R rArr |a-b|` तथा `|b-c|` सम हैं ।
`rArr (a-b)+(b-c)` सम है ।
`rArr (a-b+b-c)` सम है ।
`rArr (a-c)` सम है ।
`rArr|a-c|` सम है ।
`rArr (a,c) in R `
`:. R ` संक्रमक है ।
`:'R` स्वतुल्य , सममित और संक्रमक है
`:. R ` एक तुल्यता सम्बन्ध है ।
समुच्चय {1,3 ,5} के सभी अवयव विषम हैं अतः इसके किन्हीं दो अवयवों के अन्तर का मापांक सम होगा । अतः इसके सभी अवयव सम्बन्ध R के द्वारा एक दूसरे से सम्बन्धित हैं ।
इसी प्रकार, समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव सम है । अतः इस समुच्चय के किन्हीं दो अवयवों के अन्तर का मापांक सम होगा । अतः समुच्चय {2,4}के सभी अवयव सम्बन्ध R के द्वारा एक दूसरे से सम्बन्धित हैं ।
पुनः समुच्चय {1,3,5} के सभी अवयव विषम हैं तथा समुच्चय {2,4} के सभी अवयव सम हैं । अतः पहले समुच्चय के किसी अवयव और दूसरे समुच्चय के किसी अवयव के अन्तर का मापांक विषम होगा । अतः समुच्चय {1,3,5} का कोई अवयव समुच्चय {2,4} के किसी अवयव के सम्बन्ध के द्वारा सम्बन्धित नहीं है । `" "` यही सिद्ध करना था ।