सिद्ध कीजिए कि समुच्चय `A={x in Z :0 le x le 12}`, में दिए गए निम्नलिखित सम्बन्धों R में से प्रत्येक एक तुल्यता सम्बन्ध है :
(i) R = {(a,b):|a-b|,4 का एक गुणज है },
(ii) R = {(a,b) : a=b },
प्रत्येक दशा में 1 से सम्बन्धित अवयवों को ज्ञात कीजिए ।

Explanation

यहाँ `A={x in z : 0 le x le 12}`
`rArr A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}`
(i)R={(a,b):|a-b|,4 का गुणज है "}
प्रत्येक `a in A` के लिये,
`|a-a|=0` जो 4 का गुणज है ।
`:.(a,a)in R`
`rArr R` स्वतुल्य है ।
प्रत्येक `a, b in A`के लिये
माना `(a,b) in R " " rArr |a-b|,4` का गुणज है
`rArr |b-a|,4` का गुणज है ।
`rArr(b,a), in R`
`:. R` सममित है ।
प्रत्येक `a, b, c in A` के लिये
माना `(a,b)in R` तथा `(b,c) in R`
`rArr|a-b|` तथा `|b-c|,4`के गुणज हैं ।
`rArr|a-c|,4` का गुणज है ।
`rArr (a,c) in R`
`:.R` संक्रमक है |
अतः R एक तुल्यता सम्बन्ध है । `" "` यही सिद्ध करना था ।
अब `|1-1|=0,|5-1|=4, |9-1|=8`
जो 4 के गुणज हैं ।
`:. 1` से सम्बन्धित अवयव `=1,5,9`
(ii) `R={(a,b):a=b}`
प्रत्येक `a in A`के लिये
`a=a`
`rArr (a,a)in R`
`:. R` स्वतुल्य है ।
प्रत्येक `a, b in A`के लिए
माना `a, b in R rArr a=b`
`rArr b=a`
`rArr(b,a) in R`
`:. R` सममित हैं ।
प्रत्येक `a,b,c,in R`के लिये
माना `(a,b)in R` तथा `(b,c) in R`
`rArra=b` तथा `b=c`
`rarr a=c rArr (a,c) in R`
`:. R` संक्रमक है ।
इस प्रकार R एक तुल्यता सम्बन्ध है । `" "` यही सिद्ध करना था ।
अब `1=1 rArr (1,1) in R`
`:. 1`से सम्बन्धित अवयव `= 1 `