ऐसे सम्बन्ध का उदाहरण दीजिये, जो
(i) सममित हो परन्तु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रमक हो ।
(ii) संक्रमक हो परन्तु न तो स्वतुल्य हो और न सममित हो ।
(iii) स्वतुल्य तथा सममित हो किन्तु सममित न हो ।
(iv) स्वतुल्य तथा संक्रमक हो किन्तु सममित न हो ।
(v) सममित तथा संक्रमक हो किन्तु स्वतुल्य न हो ।

Explanation

(i) माना समुच्चय `A={1,2,3}`
तथा सम्बन्ध `R={(1,2),(2,1)}A` पर परिभाषित है ।
`:'(1,1)cancelin R`
`:.R` स्वतुल्य नहीं है ।
`:'(1,2)in R rArr (2,1) in R`
`:.R` सममित है ।
`:'(1,2)in R` तथा `(2,1) in R rArr(1,1) cancelin R`
`:. R` संक्रमक नहीं है ।
(ii) माना वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R पर परिभाषित सम्बन्ध `S={(a,b):a lt b }` है ।
प्रत्येक ` a in R `के लिये,`(a,a) cancelin S` क्योंकि `a lt a`असत्य है ।
`:.S` स्वतुल्य नहीं है
प्रत्येक `a,b in R` के लिए,
माना `(a,b) in S rArr a lt b`
`cancelrArr b lt a `
`cancelrArr (b,a) in S`
`:.S` सममित नहीं है ।
प्रत्येक `a,b,c in R` के लिये
माना `(a,b) in S` तथा `(b,c) in S`
`rArr a lt b` तथा `b lt c rArr a lt c rArr (a,c) in S`
`:. S`संक्रमक है ।
(iii) माना `A={1,2,3}` के समुच्चय पर परिभाषित सम्बन्ध
`R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}` है ।
`:'` प्रत्येक `a in A` के लिये` (a,a) in R`
`:.R` स्वतुल्य है ।
प्रत्येक `(a,b) in R cancelin (a,c) in R`
`:. R ` सममित है ।
प्रत्येक `(a,b) in R ` तथा `(b,c) in R cancelrArr (a,c) in R `
`:. R ` संक्रमक नहीं है ।
`(:'(1,2)in R, (2,3) in R "परन्तु" (1,3) cancelin R)`
(iv) वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित सम्बन्ध
`R={(a,b) : a^(3) ge b^(3)}` है ।
प्रत्येक `a in R`के लिये `(a,a) in R`
`:.R` एक स्वतुल्य है ।
यदि `(2,1) in R rArr 2^(3) gt 1^(3)`
`cancelrArr 1^(3) gt 2^(3)`
`cancelrArr (1,2) in R`
`:. R` सममित नहीं है ।
तथा प्रत्येक `(a,b) in R`तथा `(b,c) in R`
`rArr a^(3) ge b^(3)` तथा `b^(3) ge c^(3)`
`rArr a^(3) ge c^(3)`
`rArr (a,c) in R`
`:.R`संक्रमक है ।
(v) समुच्चय `A={1,2,3}` पर परिभाषित सम्बन्ध
`R={(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)}`है ।
`:' (3,3)cancelin R`
`:.R` स्वतुल्य नहीं है ।
प्रत्येक `(a,b) in R rArr (b,a) in R`
`:. R`सममित है ।
प्रत्येक `(a,b) in R`तथा `(b,c) in R`
`rArr (a,c) in R`
`:. R`संक्रमक है ।