सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थिति बिंदुओं के समुच्चय में , R = {(P,Q ) : बिन्दु P की मूल-बिन्दु से दूरी, बिन्दु Q की मूल बिन्दु से दूरी के समान है } द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध एक तुल्यता सम्बन्ध है । पुनः सिद्ध कीजिए कि बिन्दु `P!=(0,0)` से सम्बन्धित सभी बिंदुओं का समुच्चय P से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केन्द्र मूल बिन्दु पर है ।

Explanation

R={(P,Q):बिन्दु P की मूल बिन्दु से दूरी , बिन्दु Q की मूल बिन्दु से दूरी से समान है}
अब `(P,P) in R`सदैव सत्य है ।
`:. R` स्वतुल्य है ।
माना `(P,Q) in R`
`rArr P`की मूल बिन्दु से दूरी = Q की मूल बिन्दु से दूरी
`rArr Q`की मूल बिन्दु से दूरी की = P मूल बिन्दु से दूरी
`rArr (Q,P) in R`
`:.R`सममित है ।
माना `(P,Q) in R ` तथा `(Q,S) in R`
`rArr P`की मूल बिन्दु से दूरी = Q की मूल बिन्दु से दूरी
तथा Q की मूल बिन्दु से दूरी = S की मूल बिन्दु से दूरी
`rArr P ` की मूल बिन्दु से दूरी = S की मूल बिन्दु से दूरी
`rArr (P,S) in R`
`:. R ` संक्रमक है ।
`:' R `स्वतुल्य, सममित और संक्रमक है
`:. R` एक तुल्यता सम्बन्ध है ।
अब बिन्दु `P!=(0,0)` से सम्बन्धित वह बिन्दु लेते हैं जिनकी मूल बिन्दु से दूरी बिन्दु P की मूल बिन्दु से दूरी के बराबर है । अतः यदि O(0,0) मूल बिन्दु है तथा OP=k तो बिन्दु `P!=(0,0)` से सम्बन्धित बिन्दु मूल बिन्दु से k दूरी पर होंगे । इस प्रकार बिन्दु P से सम्बन्धित बिन्दुओं का समुच्चय एक वृत्त है जिसका केन्द्र मूल बिन्दु है । यह वृत्त बिन्दु P से होकर जाता है । `" " ` यही सिद्ध करना था ।