सिद्ध कीजिए कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय A में,`R={(T_(1),T_(2)):T_(1),T_(2) " के समरूप है "}` द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है । भुजाओं 3, 4, 5 वाले समकोण त्रिभुज `T_(1)`,भुजाओं 5, 12, 13 वाले समकोण त्रिभुज `T_(2)` तथा भुजाओं 6, 8, 10 वाले समकोण त्रिभुज `T_(3)` पर विचार कीजिए | `T_(1),T_(2)` और `T_(3)`में से कौन-से त्रिभुज परस्पर सम्बन्धित हैं ?

Explanation

यहाँ `A-=` समस्त त्रिभुजों का समुच्चय
तथा `R={(T_(1),T_(2)):T_(1),T_(2)"के समरूप है "}`
`:'` प्रत्येक त्रिभुज स्वयं के समरूप होता है
`:.R` स्वतुल्य है ।
माना `T_(1),T_(2) in A` तथा `(T_(1),T_(2))in R`
`rArr T_(1),T_(2)` के समरूप है ।
`rArrT_(2),T_(1)` के समरूप है ।
`rArr (T_(2),T_(1))in R`
`:. R` सममित है ।
माना `T_(1),T_(2), T_(3) in A`
तथा `(T_(1),T_(2))in R` और `(T_(2),T_(3))in R`
`rArr T_(1),T_(2)`के समरूप है और `T_(2),T_(3)` के समरूप है ।
`rArr T_(1),T_(3)` के समरूप है ।
`rArr (T_(1),T_(3))in R`
`:.R` संक्रमक है ।
`:'R` स्वतुल्य, सममित और संक्रमक है
`:.R` एक तुल्यता सम्बन्ध है । `" "` यही सिद्ध करना था ।
अब `3/6=4/8=5/10=1/2`
`rArr T_(1)` और `T_(3)`की संगत भुजायें समान अनुपात में हैं ।
अतः `T_(1)` और `T_(3)` समरूप हैं ।
`rArr` त्रिभुज `T_(1)`, त्रिभुज `T_(3)` से सम्बन्धित है ।