निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित प्रत्येक संक्रिया `**` से एक द्विआधारी संक्रिया प्राप्त होती है या नहीं । उस दशा में जब `**` एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है, औचित्य भी बतलाइए ।
(i) `Z^(+)` में, `a**b=a-b` द्वारा परिभाषित संक्रिया `**`
(ii) `Z^(+)` में, `a**b=ab`द्वारा परिभाषित संक्रिया `**`
(iii)R में, संक्रिया `**,a**b=ab^(2)`द्वारा परिभाषित
(iv) `Z^(+)` में संक्रिया `**,a**b=|a-b|`द्वारा परिभाषित
(v) `Z^(+)` में, , संक्रिया `**,a**b=a`द्वारा परिभाषित

Explanation

(i) `Z^(+)` में `a**b=a-b`
`2**3=2-3=-1cancelin Z^(+)`
`:.` दी संक्रिया द्विआधारी नहीं है ।
(ii) `Z^(+)` में , `a**b=ab`
प्रत्येक दो धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होता है ।
`:.` दी संक्रिया द्विआधारी है ।
(iii) R में, `a**b=ab^(2)`
`:.` प्रत्येक वास्तविक संख्या का वर्ग एक वास्तविक संख्या होता है तथा दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल भी सदैव वास्तविक होता है ।
`:.` दी संक्रिया द्विआधारी है ।
(iv) `Z^(+)` में, `a**b=|a-b|`
प्रत्येक दो धनात्मक संख्याओं के अन्तर का मापांक सदैव पूर्णांक होता है ।
`:.` दी संक्रिया द्विआधारी है ।
(v) `Z^(+)` में,`a**b=a`
प्रत्येक `a,b in Z^(+)` के लिये
`a**b=a in Z^(+)`
`:.` दी संक्रिया द्विआधारी है ।