निम्नलिखित परिभाषित प्रत्येक द्विआधारी संक्रिया `**` के लिए निर्धारित कीजिए कि क्या `**` द्विआधारी क्रमविनिमेय है तथा क्या `**` साहचर्य है ।
(i) Z में, `a**b=a-b` द्वारा परिभाषित
(ii) Q में,`a**b=ab+1` द्वारा परिभषित
(iii) Q में, `a**b=(ab)/(2)` द्वारा परिभाषित
(iv) `Z^(+)`में, `a**b=2^(ab)`द्वारा परिभाषित
(v) `Z^(+)` में , `a**b=a^(b)`द्वारा परिभाषित
(vi) `R-{-1}` में , `a**b=(a)/(b+1)`द्वारा परिभाषित

Explanation

(i) Z में,`a**b=a-b`
माना `a,b in Z`
`:.a**b=a-b`
`b**a=b-a`
`:.a**b!=b**a`
अतः संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है ।
माना `a,b,c in Z`
`:.a**(b**c)=a**(b-c)=a-(b-c)`
`=a-b+c`
तथा `(a**b)**c=(a-b)**c=a-b-c`
`:.a**(b**c)!=(a**b)**c`
अतः संक्रिया साहचर्य नहीं है ।
(ii) Q में, `a**b=ab+1`
माना `a,b in Q`
`:.a**b=ab+1=ba+1=b**a`
अतः संक्रिया क्रमविनिमेय है ।
माना `a,b,c in Q`
`:.a**(b**c)=a**(bc+1)`
`=a(bc+1)+1=abc+a+1`
तथा `(a**b)**c=(ab+1)**c`
`=(ab+1)c+1=abc+c+1`
`!=a**(b**c)`
अतः संक्रिया साहचर्य नहीं है ।
(iii) Q में, `a**b=(ab)/(2)`
माना `a,b in Q`
`:.a**b=(ab)/(2)=(ba)/(2)=b**a`
अतः दी संक्रिया क्रमविनिमेय है ।
माना `a,b,c in Q`
`:.a**(b**c)=a**((bc)/(2))=(a((bc)/(2)))/(2)=(((ab)/(2))c)/(2) `
`=((a**b)c)/(2)=(a**b)**c`
अतः दी संक्रिया साहचर्य है ।
(iv) `Z^(+)` में `a**b=2^(ab)`
माना `a,b in z^(+)`
`:.a**b=2^(ab)=2^(ba)=b**a`
अतः दी संक्रिया क्रमविनिमेय है ।
माना `a,b,c in Z^(+)`
`:.a**(b**c)=a**(2^(bc))=2^(a.2^(bc))`
तथा `(a**b)**c=(2^(ab))**c=2^(2^(ab).c)!=a**(b**c)`
अतः संक्रिया साहचर्य नहीं है ।
(v) `Z^(+)` में, `a**b=a^(b)`
माना `a,b in Z^(+)`
`:.a**b=a^(b)!=b^(a)!=b**a`
अतः दी संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है ।
माना `a,b,c in Z^(+)`
`:.a**(b**c)=a(b^(c))=a^((b^(c)))`
तथा `(a**b)**c=(a^(b))**c=(a^(b))^(c)=a^(bc)`
`:.a**(b**c)!=(a**b)**c`
अतः दी संक्रिया साहचर्य नहीं है ।
(vi)`R-{-1}` में, `a**b=(a)/(b+1)`
माना `a,b in R-{-1}`
`:.a**b=(a)/(b+1)!=(b)/(a+1)!=b**a`
अतः दी संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है ।
माना `a,b,c in R-{-1}`
`:.a**(b**c)=a**((b)/(c+1))=(a)/((b)/(c+1)+1)=(a(c+1))/(b+c+1)`
तथा `(a**b)**c=((a)/(b+1))**c=((a)/(b+1))/(c+1)=(a)/((b+1)(c+1))`
`:.a**(b**c)!=(a**b)**c`
अतः दी संक्रिया साहचर्य नहीं है ।