मान लीजिए कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित `**` एक द्विआधारी संक्रिया है :
(i) `a**b=a-b " " (ii) a**b=a^(2)+b^(2)`
(iii) `a**b=a+ab " " (iv) a**b=(a-b)^(2)`
(v) `a**b=(a^(b))/(4) " " (vi) a**b=ab^(2)`
ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन-सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौन - सी साहचर्य हैं ?

Explanation

(i) Q में, `a**b=a-b`
माना `a,b in Q`
`:.a**b=a-b!=b-a!=b**a`
`rArr` संक्रिया `**`क्रमविनिमेय नहीं है ।
माना `a,b,c in Q`
`:.a**(b**c)=a-(b-c)`
`=a-b+c`
तथा `(a**b)**c=(a-b)**c`
`=a-b-c`
`:.a**(b**c)!=(a**b)**c`
अतः संक्रिया `**`साहचर्य नहीं है ।
(ii)Q में, `a**b=a^(2)+b^(2)`
माना `a,b in Q`
`:.a**b=a^(2)+b^(2)`
`=b^(2)=a^(2)=b**a`
`rArr` संक्रिया `**` क्रमविनिमेय है ।
माना `a,b , c in Q`
`:.a**(b**c)=a**(b^(2)+c^(2))`
`=a^(2)+(b^(2)+c^(2))^(2)`
तथा `(a**b)**c=(a^(2)+b^(2))**c`
`=(a^(2)+b^(2))^(2)+c^(2)`
`:.a**(b**c)!=(a**b)**c`
`rArr`संक्रिया `**`साहचर्य नहीं है ।
(iii) Q में, `a**b=a+ab`
माना `a,b in Q`
`:.a**b=a+ab` तथा `b**a=b+ba`
अतः `a**b!=b**a`
`rArr`संक्रिया `**`क्रमविनिमेय नहीं है ।
माना `a,b,c in Q`
`:.a**(b**c)=a**(b+bc)`
`=a+a(b+bc)=a+ab+abc`
तथा `(a**b)**c=(a+ab)**c`
`=(a+ab)+(a+ab)c`
`=a+ab+ac+abc`
`:.a**(b**c)!=(a**b)**c`
`rArr`संक्रिया `**`साहचर्य नहीं है ।
(iv) Q में, `a**b=(a-b)^(2)`
माना `a,b in Q`
`:.a**b=(a-b)^(2)`
`=(b-a)^(2)=b**a`
`rArr` संक्रिया `**`क्रमविनिमेय है ।
माना `a,b,c in Q`
`:.a**(b**c)=a**(b-c)^(2)`
`=[a-(b-c)^(2)]^(2)`
तथा `(a**b)**c=(a-b)^(2)**c`
`=[(a-b)^(2)-c]^(2)`
`:.a**(b**c)!=(a**b)**c`
`rArr`संक्रिया `**` साहचर्य नहीं है ।
(v) Q में, `a**b=(ab)/(4)`
माना `a,b in Q`
`:.a**b=(ab)/(4)=(ba)/(4)=b**a`
`rArr` संक्रिया `**` क्रमविनिमेय है ।
माना `a,b, c in Q`
`:.a**(b**c)=a**((bc)/(4))=(a((bc)/(4)))/(4)`
`=(((ab)/(4))c)/(4)=((ab)/(4))**c=(a**b)**c`
`rArr` संक्रिया `**` साहचर्य है ।
(vi) Q में, `a**b=ab^(2)`
माना `a,b in Q`
`:.a**b=ab^(2)`
तथा `b**a=ba^(2)`
`:.a**b!=b**a`
`rArr` संक्रिया `**`क्रमविनिमेय नहीं है ।
माना `a,b,c in Q`
`:.a**(b**c)=a**(bc^(2))`
`=a(b^(2))^(2)=ab^(2)c^(4)`
तथा `(a**b)**c=(ab^(2))**c=ab^(2)c^(2)`
`:.a**(b**c)!=(a**b)**c`
`rArr `संक्रिया `**`साहचर्य नहीं है ।