मान लीजिए कि `A=NxxN` है तथा A में `(a,b)**(c,d)=(a+c,+b+d)`द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी क्रिया है । सिद्ध कीजिए कि `**` क्रमविनिमेय तथा साहचर्य है । A में `**`का तत्समक अवयव, यदि कोई है, तो ज्ञात कीजिए ।

Explanation

`A=NxxN` में
`(a,b)**(c,d)=(a+c,b+d)`
माना `a,b,c,d in N`
तथा `(a,b)**(c,d)=(a+c,b+d)`
`=(c+a,d+b)`
`=(c,d)**(a,b)`
`:.` संक्रिया `**` क्रमविनिमेय है ।
पुनः माना `a,b,c,d,e,f in N`
तथा `(a,b)**{(c,d)**(e,f)}`
`=(a,b)**(c+e, d+f)`
`={a+(c+e),b+(d+f)}`
`={(a+c)+e,(b+d)+f}`
`=(a+c,b+d)**(e,f)`
`={(a,b)**(c,d)}**(e,f)`
`:.` संक्रिया `**` साहचर्य है ।
माना `(e,f)in NxxN`
तथा `(a,b)**(e,f)=(a,b)=(e,f)**(a,b)`
`rArr(a+e,b+f)=(a,b)=(e+a,f+b)`
`rArr e=0, f=0`
जो N के अवयव नहीं है ।
`:.A=NxxN` में `(a,b)**(c,d)=(a+c,b+d)` के सापेक्ष तत्समक अवयव का अस्तित्व नहीं है ।