मान लीजिए कि `f:W rarr W,f(n)=n-1` यदि n विषम है तथा `f(n)=n+1` यदि n सम है, द्वारा परिभाषित है । सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है । f का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए । यहाँ W समस्त पूर्णांकों का समुच्चय है ।

Explanation

`f:W rarr W`में, `f(n)={:{(n-1","," यदि n विषम है ।"),(n+1","," यदि n सम है ।"):}`
माना `f(n)=f(m)` (यदि n विषम तथा m सम है ।)
`rArr n-1= m+1`
`rArr n=m+2`
जो सम्भव नहीं है ।
अतः n और m दोनों या तो विषम होंगें या सम होंगें ।
यदि n और m दोनों विषम हैं तो
`f(n)=f(m)`
`rArr n-1=m-1`
`rArr n=m`
तथा यदि n और m दोनों सम हैं तो
`f(n)=f(m)`
`rArr n+1=m+1`
`rArr n=m`
`:.f` एकैकी है ।
अब सहप्रान्त W में स्थित प्रत्येक सम संख्या 2r, प्रान्त W में स्थित विषम संख्या 2r+1, का प्रतिबिम्ब है तथा सहप्रान्त W में स्थित प्रत्येक विषम संख्या 2r+1, प्रान्त W में स्थित सम संख्या 2r का प्रतिबिम्ब है ।
`:.f` आच्छादक है ।
`:'f` एकैकी और आच्छादक है ।
`:.f` व्युत्क्रमणीय है । `" "` यही सिद्ध करना था ।
`:.f`का प्रतिलोम फलन g निम्न प्रकार परिभाषित होगा :
`g:W rarr W`
`g(m)={:{(m+1","," यदि m सम है ।"),(m-1"," ," यदि m विषम है ।"):}`