सिद्ध कीजिए कि `f:R rarr {x in R : -1 lt x lt 1}` जहाँ `f(x)=(x)/(1+|x|),x in R`द्वारा परिभाषित फलन एकैकी तथा आच्छादक है ।

Explanation

`f:R rarr R` तथा `f(x)=(x)/(1+|x|)`
माना `x,y in R`तथा
`f(x)=f(y)`
`rArr (x)/(1+|x|)=(y)/(1+|y|)`
यदि x धनात्मक और y ऋणात्मक है तो `x gt y rArr x-y gt 0` तथा `2xy lt 0`
`:.(x)/(1+x)=(y)/(1-y)`
`rArr y+xy=x-xy`
`rArr 2xy=x-y` जो असम्भव है ।
इसी प्रकार `x` ऋणात्मक तथा `y` धनात्मक नहीं हो सकता ।
यदि `x` और `y` दोनों धनात्मक है तो
`f(x)=f(y) rArr (x)/(1+x)=(y)/(1+y)`
`rArr x+xy=y+xy`
`rArr x=y`
यदि x और y दोनों ऋणात्मक है तो
`f(x)=f(y) rArr (x)/(1-x)=(y)/(1-y)`
`rArrx-xy=y-xy`
`rArrx=y`
अतः f एकैकी है ।
माना `y in R`इस प्रकार है कि
`-1 lt y lt 1`
यदि y ऋणात्मक है तो `x=(y)/(1+y)in R` इस प्रकार है कि
`f(x)=f((y)/(1+y))=((y)/(1+y))/(1+|(y)/(1+y)|)=((y)/(1+y))/(1-(y)/(1+y))=y`
यदि y धनात्मक है तो `x=(y)/(1-y)in R `इस प्रकार है कि
`f(x)=f((y)/(1-y))=((y)/(1-y))/(1+((y)/(1-y)))=((y)/(1-y))/(1+(y)/(1-y))=y`
`:.` फलन f आच्छादक है ।
अतः f एकैकी आच्छादक है । `" "`यही सिद्ध करना था ।