`a**b=|a-b|` तथा `aob=a, AA a, b in R` द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रियाओं `** : R xx R rarr R` तथा `o: R xx R rarr R` पर विचार कीजिए । सिद्ध कीजिए कि `**` क्रमविनिमेय है परन्तु साहचर्य नहीं है ,o साहचर्य है परन्तु क्रमविनिमेय है नहीं हिअ । पुनः सिद्ध कीजिए कि सभी `a,b c in R` के लिए `a**(boc)=(a**b)o(a**c)` है । यदि ऐसा होता है, तो हम कहते हैं कि संक्रिया `**` संक्रिया o पर विपरित (Distributes) होती है ? क्या o संक्रिया `**`पर विपरित होती है ? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए ।

Explanation

द्विआधारी संक्रिया `** :RxxRrarrR` में `a**b=|a-b|`
माना `a,b in R`
`:.a**b=|a-b|`
`=|b-a|=b**a`
`:.**` क्रमविनिमेय है ।
पुनः माना `a,b,c in R`
`:.a**(b**c)=a**|b-c|`
`=|a-|b-c||`
तथा `(a**b)**c=|a-b|**c`
`=||a-b|-c|`
`:.a**(b**c)!=(a**b)**c` (यदि `a=1,b=2,c=3`)
`rArr**` साहचर्य नहीं है ।
द्विआधारी संक्रिया `o:RxxR rarr R` में `aob=a`
माना `a,b in R`
`:.aob=a`
तथा `boa=b`
`:.aob!=boa`
`rArr o` क्रमविनिमेय नहीं है ।
पुनः माना `a,b,c in R`
`:.ao(boc)=aob`
`=a`
तथा `(aob)oc=aoc=a`
`:. o` साहचर्य है ।
अब माना `a,b,c in R` तब
तथा `(a**b)o(a**c)=(|a-b|)o(|a-c|)=|a-b|`
`:.a**(boc)=a**b=|a-b|`
`:.a**(boc)=(a**b)o(a**c)`
`:.` संक्रिया `**,o` पर वितरित हो रही है ।
पुनः `1o(2**3)=1o(|2-3|)=1o1=1`
तथा `(1o2)**(1o3)=1**1=|1-1|=0`
`:.1o(2**3)!=(1o2)**(1o3)`
`:.` संक्रिया `o,**` पर वितरित नहीं हो रही है ।