किसी प्रदत्त अरिक्त समुच्चय X के लिए मान लीजिए कि `** : P(X) xx P(X) rarr P(X)`, जहाँ `A ** B = (A-B) uu (B-A) , AA A, B in P(X)` द्वारा परिभाषित है । सिद्ध कीजिए कि रिक्त समुच्चय `phi` संक्रिया `**` का तत्समक है तथा P(X) के समस्त अवयव A व्युत्क्रमणीय है, इस प्रकार कि `A^(-1)=A`.
(संकेत `:(A-phi)uu (phi-A)=A` तथा `(A-A)uu(A-A)=A**A=phi`)

Explanation

समुच्चय P(X) पर संक्रिया
`A**B=(A-B)uu(B-A)AA A,B in P(X)`
माना `A in P(X)`
`:.A**phi=(A-phi)uu(phi-A)`
`=Auu phi =A`
तथा `phi**A=(phi-A)uu(A-phi)`
`=phiuuA=A`
`:.A**phi=A=phi**A`
`rArr phi`,द्विआधारी संक्रिया `**`के लिये तत्समक अवयव है ।
पुनः `A in P(X)` व्युत्क्रमणीय होगा यदि और केवल यदि P(x) में अवयव B इस प्रकार है की
`A**B=phi=B**A`
अब `A**A=(A-A)uu(A-A)`
`=phiuuphi=phi`
`:.P(x)`के सभी अवयव A व्युत्क्रमणीय है तथा `A^(-1)=A " "` यही सिद्ध करना था ।