सिद्ध कीजिए कि `int_(0)^(pi//2)(1)/(1+tan^(3)x)dx`

Explanation

माना `I=int_(0)^(pi//2)(1)/(1+tan^(3)x)dx`
`=int_(0)^(pi//2)(1)/(1+(sin^(3)x)/(cos^(3)x))dx`
`I=int_(0)^(pi//2)(cos^(2)x)/(cos^(3)x+sin^(3)x)dx" ...(1)"`
`rArr" "I=int_(0)^(pi//2)(cos^(3)((pi)/(2)-x))/(cos^(3)((pi)/(2)-x)+sin^(3)((pi)/(2)-x))dx`
[प्रगुण (4 ) से ]
`rArr" "I=int_(0)^(pi//2)(sin^(3)x)/(sin^(3)x+cos^(3)x)" ...(2)"`
समीकरण (1 ) और (2 ) को जोड़ने पर
`2I=int_(0)^(pi//2)(cos^(3)x+sin^(3)x)/(sin^(3)x+cos^(3)x)dx`
`=int_(0)^(pi//2)1dx=[x]_(0)^(pi//2)=(pi)/(2)`
`rArr" "I=(pi)/(4)" "` यही सिद्ध करना था ।