`e^(2x)sinx`

Explanation

माना `I=inte^(2x)sin x dx`
`rArr" "I=sinx.inte^(2x)dx-int[(d)/(dx)(sinx).inte^(2x)dx]dx`
`=sinx.(e^(2x))/(2)-intcosx. (e^(2x))/(2)dx`
`=sinx.(e^(2x))/(2)-(1)/(2)int e^(2x)cos xdx`
`rArr" "I=sin x. (e^(2x))/(2)-(1)/(2)I_(1)`
जहाँ `" "I_(1)=inte^(2x)cos x dx`
`rArr" "I_(1)=cosx. int e^(2x)dx- int [(d)/(dx)(cosx).inte^(2x)dx]dx`
`cosx.(e^(2x))/(2)-int(-sinx).(e^(2x))/(2)dx+C_(1)`
`=(3^(2x)cosx)/(2)+(1)/(2)inte^(2x)sin x dx +C_(1)`
`I_(1)` का मान समीकरण (1 ) रखने पर
`I=(e^(2x)sinx)/(2)-(1)/(2)((e^(2x)cosx)/(2)+(1)/(2)inte^(2x)sin x dx+C_(1))`
`rArr int e^(2x)sin x dx=(e^(2x)sinx)/(2)-(e^(2x)cosx)/(4)-(I)/(4)-(1)/(2)C_(1)`
`rArr" "I+(I)/(4)=(e^(2x)sinx)/(2)-(e^(2x)sinx)/(4)-(I)/(4)-(1)/(2)C_(1)`
`rArr" "I+(I)/(4)=(e^(2x)sinx)/(2)-(e^(2x)cosx)/(4)-(1)/(2)C_(1)`
`rArr" "(5)/(4)=(e^(2x)sinx)/(2)-(e^(2x)cosx)/(4)-(1)/(2)C_(1)`
`rArr" "(5)/(4)=(e^(2x)sinx)/(2)-(e^(2x)cosx)/(4)-(1)/(2)C_(1)`
`rArr" "I=(4)/(5)((e^(2x)sinx)/(2)-(e^(2x)cosx)/(4)-(1)/(2)C_(1))`
`rArr" "inte^(2x)sin xdx`
`=(2)/(5)e^(2x)sinx-(1)/(5)e^(2x) cos x-(2)/(5)C_(1)`
`=(2)/(5)e^(2x)sinx-(1)/(5)e^(2x)cos x+C`
जहाँ , `C=-(2)/(5)C_(1)`