`(i)int_(-a)^(a) f(x) dx=2int_(0)^(a) f(x)dx` यदि `f` एक सम फलन है अर्थात यदि `f(-x) = f(x)`
`(ii)int_(-a)^(a) f(x) dx=0` यदि `f` एक विषम फलन है अर्थात यदि `f(-x) = -f(x)`
तब उपरोक्त जानकारी के आधार पर निम्न प्रश्नों के उत्तर दे -
`(ii)int_((-pi)/(2))^((pi)/(2))(x^(3)+x cos x+tan^(5)x+1)dx` का मान है :

Options

A. `pi`
B. `-pi`
C. `2pi`
D. `-2pi`

Answer

A

Explanation

माना `I=int_(-(pi)/(2))^(pi//2)(x^(3)+xcos x+tan^(5)x+1)dx`
`rArr" "I=int_(-pi//2)^(pi//2)x^(3)dx+int_((-pi)/(2))^(pi//2)x cos x dx+ int_((-pi)/(2))^(pi//2)tan^(5)x dx +int_((-pi)/(2))^(pi//2)1dx`
हम जानते हैं
`int_(-a)^(a)f(x)dx={{:(2int_(0)^(a)f(x)dx",","यदि सम है "),(" 0,","यदि विषम है "):}`
`therefore" "I=0+0+0+2int_(0)^(pi//2)1dx`
`[because x^(3), x cosx ` और ` tan^(5)(x)` विषम फलन है ]
`I=2 [x]_(0)^(pi//2)=(2pi)/(2)=pi`