योगफल की सीमा के रूप में `int_(0)^(1)e^(2-3x)dx` का मान ज्ञात कीजिए।

Explanation

माना `f(x)=e^(2-3x)`
तब `int_(0)^(1)e^(2-3x)dx=int_(0)^(1)f(x)dx`
हम जानते हैं कि
`int_(a)^(b)f(x)dx=underset(xrarr0)(lim)h[f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+…+f(a+(n-1))h]`
जहाँ,`" "nh=b-a`
जहाँ,`" "a=0,b=1" तथा "nh=1`
तथा `" "f(x)=e^(2-3x)`
`therefore int_(0)^(3)e^(2-3x)dx=underset(hrarr0)(lim)h[f(0)+f(0+h)+f(0+2h)+...+f{0+(n-1)h}]`
`=underset(hrarr0)(lim)h{e^(2)+e^(2-3h)+e^(2-6h)+...+e^(2-3(n-1)h)}`
`=underset(hrarr0)(lim)he^(2){1+e^(-3h)+e^(-6h)+...e^(-3(n-1)h)}`
`=underset(hrarr0)(lim)(he^(2)[1-(e^(-3h))^(n)])/(1-e^(-3h))=underset(hrarr0)(lim)(e^(2)[1-{e^(-3(1))}])/((1-e^(-3h))/(-3h)(-3))`
`=(e^(2)(1-e^(-3)))/(3underset(hrarr0)(lim)(e^(-3h)-1)/(-3h))=(1)/(3)(e^(2)-e^(-1))`