`C_(0)C_(r)+C_(1)C_(r+1)+C_(2)C_(r+2)+... +C_(n-r)C_(n)` बराबर है

Options

A. `(2n!)/((2n-r)!(n+r)!)`
B. `(n!)/((n-r)!(n+r)!)`
C. `(n!)/((n-r)!)`
D. इनमें से कोई नहीं

Answer

A

Explanation

हम जानते हैं की ,
`(1+x)^(n)=C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+...+C_(r)x^(r)+... +C_(n)x^(n)`
यहाँ x के स्थान पर `1//x` रखने पर,
`(1+1/x)^(n)=C_(0)+(C_(1))/(x)+(C_(2))/(x^(2))+...+(C_(r))/(x^(r))+....+(C_(n))/(x^(n))`
दोनों, प्रसारों की गुणा करने पर,
`(C_(0)+(C_(1))/(x)+(C_(2))/(x^(2))+...+(C_(r))/(x^(r))+...+(C_(n))/(x^(n)))xx(C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+...+C_(r)x^(r)+...+C_(n)x^(n))`
`=(1+(1)/(x))^(n)=(1)/(x^(n))(1+x)^(2n)...(i)`
समी (i) के दोनों पक्षों में `x^(r)` के गुणांक बराबर रखने पर,
`C_(0)C_(r)+C_(1)C_(r+1)+C_(2)C_(r+2)+...+C_(n-r)C_(n)`
`=(1)/(x^(n))(1+x)^(2n)` के विस्तार में `x^(r)` का गुणांक
`=(1+x)^(2n)` के विस्तार में `x^(n+r)` का गुणांक
`=.^(2n)C_(n+r)=((2n)!)/((n+r)!(n-r)!)`