`( x^(2)+(2)/(x))^(15)` में `x` से स्वतंत्र पद तथा , `x^(15)` के गुणांक का अनुपात क्या है ?

Options

A. `(1)/(64)`
B. `(1)/(32)`
C. `(1)/(16)`
D. `(1)/(4)`

Answer

B

Explanation

द्विपद व्यंजक `=(x^(2)+(2)/(x))^(15)`
व्यापक पद `=T_(r+1)=.^(15)C_(r)(x^(2))^(15-r)(2/x)^(r)`
`=.^(15)C_(r)x^(30-2r)(2)^(r).x^(-r)`
`=.^(15)C_(r)2^(r).x^(30-3r)` ...(i)
`30-3r=15` रखने पर,
`3r=15rArr r=5`
अतः `T_(5+1)+.^(15)C_(5)2^(5).x^(30-3xx5)`
`=.^(15)C_(5)2^(5).x^(15)`
`(x^(2)+2/x)^(15)` के प्रसार में `x^(15)` का गुणांक
`=.^(15)C_(5).2^(5)` ...(ii)
माना `30-3r=0`
`rArr r=10` [ स्वतन्त्र पद हेतु ]
अतः `T_(10+1)=.^(15)C_(10)2^(10).x^(30-3xx10)`
`=.^(15)C_(10)2^(10).x^(0)`
`(x^(2)+2/x)^(15)` के प्रसार में `x^(0)` का गुणांक या x से स्वतन्त्र पद
`=.^(15)C_(10).2^(10)` ...(iii)
`:. (x^(2)+2/x)^(15)` में x से स्वतन्त्र पद से, `x^(15)` के गुणांक का अनुपात
`=(.^(15)C_(5).2^(5))/(.^(15)C_(10).2^(10))=(.^(15)C_(10).2^(5))/(.^(15)C_(10).2^(10))`
`=(1)/(2^(5))=(1)/(32) [:' .^(n)C_(r)=.^(n)C_(n-r)]`