`(1+x)^(n)` के प्रसार में सम द्विपद गुणांकों का योग क्या है ?

Options

A. `2^(n)`
B. `2^(n-1)`
C. `2^(n+1)`
D. इनमें से कोई नहीं

Answer

B

Explanation

हम जानते हैं कि,
`(1+x)^(n)=.^(n)C_(0)+.^(n)C_(1)x+.^(n)C_(2)x^(2)+.^(n)C_(3)x^(3)+.^(n)C_(4)x^(4)+...+.^(n)C_(n)x^(n)`
तथा `(1-x)^(n)=.^(n)C_(0)-.^(n)C_(1)x+.^(n)C_(2)x^(2)-.^(n)C_(3)x^(3)+.^(n)C_(4)x^(4)-...+(-1)^(n)C_(n)x^(n)`
`:. (1+x)^(n)+(1-x)^(n)=2.^(n)C_(0)+2.^(n)C_(2)x^(2)+2.^(n)C_(4)x^(4)+...`
x=1 रखने पर,
`(1+1)^(n)+(1-1)^(n)=2(.^(n)C_(0)+.^(n)C_(2)+.^(n)C_(4)+...)`
`rArr .^(n)C_(0)+.^(n)C_(2)+.^(n)C_(4)+.... = 1/2 (2^(n)+0)`
`rArr .^(n)C_(0)+.^(n)C_(2)+.^(n)C_(4)+...=2^(n-1)`