`[x^(3)-(1//x^(2))]^(n)`, जहाँ n धन पूर्णांक है, के विस्तार में `x^(5)` और `x^(10)` के गुणांकों का योग 0 है ।
n किसके तुल्य है ?

Options

A. 5
B. 10
C. 15
D. इनमें से कोई नहीं

Answer

C

Explanation

`(x+a)^(n)` के प्रसार में व्यापक पद,
`T_(r+1)=.^(n)C_(r)x^(n-r).a^(r)`
`:. (x^(3)-(1)/(x^(2)))^(n)` के प्रसार में व्यापक पद,
`T_(r+1) =.^(n)C_(r)x^(n-r).(-(1)/(x^(2)))^(r)`
`=.^(n)C_(r).x^((3n-3r)).(-1)^(r).x^(-2r)`
`=.^(n)C_(r).(-1)^(r).x^((3n-5r))` ... (i)
`x^(5)` गुणांक के लिए `3n-5r=5` रखने पर,
`5r=3n-5`
`:. r=(3n)/(5)-1`
`:. x^(5)` का गुणांक `=^(n)C_(((3n)/(5)-1))(-1)^(((3n)/(5)-1))`
`x^(10)` के गुणांक के लिए `3n-5r=10` रखने पर,
`5r=3n-10`
`:.r=(3n)/(5)-2`
` :. x^(10)` का गुणांक `=^(n)C_(((3n)/(5)-2)).(-1)^(((3n)/(5)-2))`
प्रश्नानुसार,
`x^(5)` तथा `x^(10)` के गुणांकों का योग = 0
`rArr.^(n)C_(((3n)/(5)-1)).(-1)^(((3n)/(5)-1))+.^(n)C_(((3n)/(5)-2)).(-1)^(((3n)/(5)-2))=0`
`rArr(-1)^((3n)/(5)[.^(n)C_(((3n)/(5)-1)).(-1)^(-1)+.^(n)C_(((3n)/(5)-2)).(-1)^(-2)]=0`
`rArr .^(-n)C_(((3n)/(5)-1))+.^(n)C_(((3n)/(5)-2))=0` ...(ii)
समी (ii) से, `.^(n)C_(((3n)/(5)-2))=.^(n)C_(((3n)/(5)-1))`
`rArr n=((3n)/(5)-2)+((3n)/(5)-1) [:' .^(n)C_(x)=.^(n)C_(y)rArr n=x+y]`
`rArr n=(6n)/(5)-3 rArr (6n)/(5)-n=3`
`rArr n//5=3 rArr n=15`